1.
Fie un semigrup finit și
Să se arate că există astfel încât este idempotent.
R.
În șirul nu toate elementele sunt distincte deoarece este finit.
Deci există astfel încât
Fie
Atunci etc.
Deci pentru orice
Fie
Atunci deci este idempotent.
2.
Fie
Să se demonstreze că este monoid comutativ.
Să se determine
R.
Se arată ușor că este monoid comutativ.
Dacă atunci (în mod evident ) și trebuie ca
Însă deci trebuie ca de unde deducem imediat că trebuie să fie egală cu una din perechile:
deci
3.
Fie un număr natural liber de pătrate () iar
Definim prin pentru orice
Să se demonstreze că este monoid comutativ iar
R.
Fie cu
Atunci
Pentru a demonstra partea a doua a problemei, se arată că
Ținând cont de expresia lui de mai înainte, se deduce:
Dacă atunci astfel încât deci de unde adică
Reciproc, dacă și atunci avem:
deci (deoarece iar ), de unde se deduce că