Analiză matematică/Numere reale/Exerciții

1) Fie $a,b,c,r\in \mathbb {R} _{+}.$ Atunci:

$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0.$   (Inegalitatea lui Schur)

Egalitatea se obține dacă și numai dacă $a=b=c.$

R. Presupunem că $a\geq b\geq c.$ Avem:

$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)=(a-b)[a^{r}(a-c)+b^{r}(b-c)].$

Ținând cont că $a^{r}\geq b^{r}\geq 0,$ și $a-c\geq b-c\geq 0,$ se obține:

$(a-b)[a^{r}(a-c)-b^{r}(b-c)]\geq 0,$

de unde rezultă:

$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)\geq 0.$

Deoarece: $c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0,$ demonstrația este încheiată.

Generalizare. Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:

Fie $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} ,$ cu proprietatea $a\geq b\geq c$ și cu una din inegalitățile:

$x\geq y\geq z$  sau  $z\geq y\geq x.$

Fie $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ și fie $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}$ o funcție convexă și monotonă.

Atunci:

$f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0.$

(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru $x=a,y=b,z=c,k=1,f(x)=x^{r}.$)

---

2) Dacă $a,b,c\in \mathbb {R} _{+},$ atunci:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 2\left({\frac {b+c}{2}}-a\right)^{3}+3abc.$

R. Din inegalitatea mediilor rezultă că $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc.$ Dacă ${\frac {b+c}{2}}-a\leq 0,$ inegalitatea este evidentă. Acum se va considera că ${\frac {b+c}{2}}-a>0.$

Se notează:

$E=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc-2\left({\frac {b+c}{2}}-a\right)^{3}.$

Punând $b=a+2x$ și $c=a+2y,$ se obține:

$E=12a(x^{2}-xy+y^{2})+6(x+y)(x-y)^{2}\geq 6(x+y)(x-y)^{2}={\frac {3}{2}}\left({\frac {b+c}{2}}\right)(b-c)^{2}\geq 0.$

Egalitatea are loc dacă $(a,b,c)\sim (1,1,1)$ sau dacă $(a,b,c)\sim (0,1,1).$