Conceptul de număr reprezintă o noțiune de bază a matematicii.
Un număr rațional poate fi exprimat atât sub formă de fracție, cât și sub formă zecimală, fie cu un număr finit de zecimale, fie cu zecimale care se repetă periodic.
Exemple:
0
=
0
1
,
1
=
1
1
,
1
,
25
=
5
4
,
0
,
(
1
)
=
1
9
.
{\displaystyle 0={\frac {0}{1}},\quad 1={\frac {1}{1}},\quad 1,25={\frac {5}{4}},\quad 0,(1)={\frac {1}{9}}.}
Reprezentarea pe dreaptă a numerelor reale Un mod de exprimare a numerelor reale îl constituie scrierea zecimală. De exemplu:
5
=
5
,
000
⋯
{\displaystyle 5=5,000\cdots }
−
3
4
=
−
0
,
75000
⋯
{\displaystyle -{\frac {3}{4}}=-0,75000\cdots }
2
=
1
,
4142
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1,4142\cdots }
π
=
3
,
14159
⋯
{\displaystyle \pi =3,14159\cdots }
Punctele de suspensie indică faptul că zecimalele se continuă în mod indefinit, lucru care are loc în cazul numerelor iraționale .
Numerele reale se pot reprezenta geometric ca puncte ale unei drepte.
Conceptul de număr natural stă la baza întregii matematici şi cu ajutorul acestuia se va defini ulterior mulţimea numerelor reale.
Mulţimea numerelor naturale poate fi definită axiomatic cu ajutorul axiomelor lui Peano .
Axiomele lui Peano mulţime a numerelor naturale o mulţime A pe care s-a definit o aplicaţie
A
∋
x
↦
x
∗
∈
A
,
{\displaystyle A\ni x\mapsto x^{*}\in A,}
lege de succesiune pe A şi care satisface proprietăţile:
Axioma I. În A s-a distins un element numit prim element al lui A , notat cu 1 (sau 0).
Axioma II. Legea de succesiune pe A este o injecţie a mulţimii A în mulţimea
A
∖
{
1
}
.
{\displaystyle A\setminus \{1\}.}
Axioma III. Fie B o mulţime cu proprietăţile:
(
i
)
1
∈
B
;
(
i
i
)
x
∈
b
⇒
x
∗
∈
B
.
{\displaystyle (i)\;1\in B;\;(ii)\;x\in b\Rightarrow \;x^{*}\in B.}
B
=
A
.
{\displaystyle B=A.}
Proprietățile numerelor reale sunt de trei tipuri
algebrice: numerele reale se pot aduna, scădea, înmulți, împărți (în acest ultim caz trebuie că împărțitorul să fie nenul), rezultatul fiind tot un număr real.
de ordine: dându-se două numere reale
x
,
y
,
{\displaystyle x,y,}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
x
.
{\displaystyle y\leq x.}
de completitudine. Pe mulțimea numerelor reale se definesc două operații de bază: adunarea și înmulțirea .
Proprietățile adunării numerelor reale
1)
a
+
b
=
b
+
a
,
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a+b=b+a,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }
2)
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
,
∀
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\;\forall a,b,c\in \mathbb {R} }
3)
∃
0
∈
R
{\displaystyle \exists 0\in \mathbb {R} }
a
+
0
=
0
+
a
=
a
,
∀
a
∈
R
{\displaystyle \;a+0=0+a=a,\;\forall a\in \mathbb {R} }
4)
∀
a
∈
R
∃
(
−
a
)
∈
R
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \;\exists (-a)\in \mathbb {R} \;}
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
Proprietățile înmulțirii numerelor reale
1)
a
⋅
b
=
b
⋅
a
,
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }
2)
(
a
⋅
b
)
⋅
c
=
a
⋅
(
b
⋅
c
)
,
∀
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c),\;\forall a,b,c\in \mathbb {R} }
3)
∃
1
∈
R
{\displaystyle \exists 1\in \mathbb {R} }
a
⋅
1
=
1
⋅
a
=
a
,
∀
a
∈
R
{\displaystyle \;a\cdot 1=1\cdot a=a,\;\forall a\in \mathbb {R} }
4)
∀
a
∈
R
∖
{
0
}
∃
a
−
1
=
1
a
∈
R
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\;\exists a^{-1}={\frac {1}{a}}\in \mathbb {R} \;}
a
⋅
1
a
=
1
{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1}
5)
(
a
+
b
)
⋅
c
=
a
⋅
c
+
b
⋅
c
{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
Teoremă.
Orice număr real
α
{\displaystyle \alpha }
Într-adevăr, fie
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
1
10
n
,
1
100
,
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}},\;{\frac {1}{100}},\cdots }
N
∈
Q
{\displaystyle N\in \mathbb {Q} }
N
≤
α
≤
N
+
1.
{\displaystyle N\leq \alpha \leq N+1.}
[
N
,
N
+
1
]
{\displaystyle [N,N+1]}
n
{\displaystyle n}
α
{\displaystyle \alpha }
[
N
+
m
n
,
N
+
m
+
1
n
]
.
{\displaystyle \left[N+{\frac {m}{n}},N+{\frac {m+1}{n}}\right].}
Exemplu .
Numărul irațional
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1
,
4
<
2
<
1
,
5
{\displaystyle 1,4<{\sqrt {2}}<1,5}
1
,
41
<
2
<
1
,
42
{\displaystyle 1,41<{\sqrt {2}}<1,42}
1
,
414
<
2
<
1
,
415
{\displaystyle 1,414<{\sqrt {2}}<1,415}
Definiție.
Valoarea absolută (sau modulul ) unui număr
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
|
a
|
=
{
a
,
d
a
c
a
˘
a
≥
0
−
a
,
d
a
c
a
˘
a
<
0
{\displaystyle |a|={\begin{cases}\;a,&dac{\breve {a}}\;a\geq 0\\-a,&dac{\breve {a}}\;a<0\end{cases}}}
Proprietăți .
Dacă
x
,
y
∈
R
,
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}
1)
|
x
+
y
|
≤
|
x
|
+
|
y
|
;
{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|;}
2)
|
x
−
y
|
≤
|
x
|
−
|
y
|
;
{\displaystyle |x-y|\leq |x|-|y|;}
3)
|
x
y
|
=
|
x
|
⋅
|
y
|
;
{\displaystyle |xy|=|x|\cdot |y|;}
4)
|
x
y
|
=
|
x
|
|
y
|
,
(
y
≠
0
)
.
{\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},\quad (y\neq 0).}
Demonstrație .
1) Avem cazurile:
a)
x
+
y
≥
0.
{\displaystyle x+y\geq 0.}
|
x
+
y
|
=
x
+
y
≤
|
x
|
+
|
y
|
{\displaystyle |x+y|=x+y\leq |x|+|y|}
x
≤
|
x
|
{\displaystyle x\leq |x|}
y
≤
|
y
|
.
{\displaystyle y\leq |y|.}
b)
x
+
y
<
0.
{\displaystyle x+y<0.}
|
x
+
y
|
=
−
(
x
+
y
)
=
(
−
x
)
+
(
−
y
)
≤
|
x
|
+
|
y
|
.
{\displaystyle |x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)\leq |x|+|y|.}
2)
Fie
x
−
y
=
z
,
{\displaystyle x-y=z,}
x
=
y
+
z
{\displaystyle x=y+z}
|
x
|
=
|
y
+
z
|
≤
|
y
|
+
|
z
|
=
|
y
|
+
|
x
−
y
|
,
{\displaystyle |x|=|y+z|\leq |y|+|z|=|y|+|x-y|,}
|
x
|
−
|
y
|
≤
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle |x|-|y|\leq |x-y|.}
Dacă
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*},}
(
a
+
b
)
n
=
a
n
+
n
a
n
−
1
b
+
n
(
n
−
1
)
2
!
a
n
−
2
b
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
3
!
a
n
−
3
b
3
+
⋯
b
n
,
{\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+{\frac {n(n-1)}{2!}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}a^{n-3}b^{3}+\cdots b^{n},}
sau, dacă definim coeficienții binomiali:
C
n
k
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
,
{\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}
atunci se mai poate scrie:
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
a
n
−
k
b
k
.
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}.}
Forma generalizată a binomului lui Newton :
Dacă
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
|
b
/
a
|
<
1
,
{\displaystyle |b/a|<1,}
α
∈
R
,
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,}
(
a
+
b
)
α
=
a
α
(
1
+
b
a
)
α
=
{\displaystyle (a+b)^{\alpha }=a^{\alpha }\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }=}
=
a
α
(
1
+
α
1
!
(
b
a
)
+
α
(
α
−
1
)
2
!
(
b
a
)
2
+
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
3
!
(
b
a
)
3
+
⋯
)
{\displaystyle =a^{\alpha }\left(1+{\frac {\alpha }{1!}}\left({\frac {b}{a}}\right)+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{3}+\cdots \right)}
Exemplu.
Să se dezvolte
(
3
+
x
)
−
1
/
2
,
{\displaystyle (3+x)^{-1/2},}
x
{\displaystyle x}
Soluție.
Punând
b
a
=
1
3
x
,
{\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {1}{3}}x,}
(
3
+
x
)
−
1
/
2
=
3
−
1
/
2
(
1
+
1
3
x
)
−
1
/
2
=
1
3
(
1
−
1
6
x
+
1
24
x
2
−
5
432
x
3
+
⋯
)
{\displaystyle (3+x)^{-1/2}=3^{-1/2}\left(1+{\frac {1}{3}}x\right)^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{24}}x^{2}-{\frac {5}{432}}x^{3}+\cdots \right)}
Seria converge dacă
|
1
3
x
|
<
1
,
{\displaystyle |{\frac {1}{3}}x|<1,}
|
x
|
<
3.
{\displaystyle |x|<3.}
Fie
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
∈
R
+
∗
,
i
=
1
,
n
¯
,
n
∈
N
∗
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\;i={\overline {1,n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}.}
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
n
≥
a
1
a
2
⋯
a
n
n
≥
n
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯
+
1
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}
Inegalitatea mediilor ).Pentru demonstrația acesteia se va utiliza următoarea lemă:
Lemă.
Fie
a
i
∈
R
+
,
i
=
1
,
n
¯
(
n
∈
N
∗
)
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{+},\;i={\overline {1,n}}\;(n\in \mathbb {N} ^{*})}
∏
i
=
1
n
a
1
=
1.
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{1}=1.}
∑
i
=
1
n
a
i
≥
n
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\geq n,}
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
=
1.
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1.}
Demonstrația lemei.
Se utilizează inducția matematică .
Pentru
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
n
+
1.
{\displaystyle n+1.}
a
i
∈
R
+
,
i
=
1
,
n
+
1
¯
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{+},\;i={\overline {1,n+1}}}
∏
i
=
1
n
a
i
=
1.
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}=1.}
a
−
1
≤
1
,
a
2
≥
1.
{\displaystyle a-1\leq 1,\;a_{2}\geq 1.}
(
a
1
−
1
)
(
a
2
−
1
)
≤
0
,
{\displaystyle (a_{1}-1)(a_{2}-1)\leq 0,}
a
1
a
2
+
≤
a
1
+
a
2
.
{\displaystyle a_{1}a_{2}+\leq a_{1}+a_{2}.}
Deoarece
(
a
1
a
2
)
a
3
⋯
a
n
=
1
,
{\displaystyle (a_{1}a_{2})a_{3}\cdots a_{n}=1,}
n
{\displaystyle n}
a
1
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
+
1
≥
n
,
{\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n+1}\geq n,}
cu egalitate pentru
a
1
a
2
=
a
3
=
⋯
=
a
n
+
1
=
1.
{\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{3}=\cdots =a_{n+1}=1.}
Rezultă că:
(
a
1
+
a
2
)
+
a
3
+
⋯
+
a
n
+
1
≥
a
1
a
2
+
1
+
a
3
+
⋯
+
a
n
+
1
≥
n
+
1
,
{\displaystyle (a_{1}+a_{2})+a_{3}+\cdots +a_{n+1}\geq a_{1}a_{2}+1+a_{3}+\cdots +a_{n+1}\geq n+1,}
∑
i
=
1
n
+
1
≥
n
+
1
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\geq n+1,}
cu egalitate pentru
a
1
=
a
2
=
⋯
=
a
n
+
1
=
1.
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n+1}=1.}
Conform metodei inducției matematice, lema este demonstrată.
Pentru demonstrarea inegalității mediilor, se aplică lema pentru numerele:
x
i
=
a
i
∏
n
i
=
1
a
i
n
,
i
=
1
,
n
¯
.
{\displaystyle x_{i}={\frac {a_{i}}{\sqrt[{n}]{{\underset {i=1}{\overset {n}{\prod }}}a_{i}}}},\qquad i={\overline {1,n}}.}
Caz particular.
Dacă
a
,
b
∈
(
0
,
+
∞
)
,
{\displaystyle a,b\in (0,+\infty ),}
a
+
b
2
≥
a
b
≥
2
a
b
a
+
b
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}\geq {\frac {2ab}{a+b}}.}
Fie
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
∈
(
−
1
,
∞
)
,
i
∈
1
,
n
¯
,
n
∈
N
∗
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in (-1,\infty ),\;i\in {\overline {1,n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}.}
(
1
+
a
1
)
(
1
+
a
2
)
⋯
(
1
+
a
n
)
≥
1
+
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
.
{\displaystyle (1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{n})\geq 1+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}.}
Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz
modificare
Fie
a
i
,
b
i
∈
R
,
i
=
1
,
n
¯
,
n
∈
N
∗
.
{\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;i={\overline {1,n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}.}
∑
i
=
1
n
|
a
i
b
i
|
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
)
1
2
⋅
(
∑
i
=
1
n
b
i
2
)
1
2
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}
Fie
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}}
a
1
≥
a
2
≥
⋯
≥
a
n
,
b
1
≥
b
2
≥
⋯
b
n
.
{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n},\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots b_{n}.}
Atunci:
a
1
b
n
+
a
2
b
n
−
1
+
⋯
+
a
n
b
1
≤
a
1
b
i
1
+
a
2
b
i
2
+
⋯
+
a
n
b
i
n
≤
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
a
n
b
n
.
{\displaystyle a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{1}\leq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+\cdots +a_{n}b_{in}\leq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots a_{n}b_{n}.}
Demonstrație.
Fie
j
<
k
,
i
j
<
i
k
.
{\displaystyle j<k,\;i_{j}<i_{k}.}
(
a
j
−
a
k
)
(
b
i
j
−
b
i
k
)
≥
0
{\displaystyle (a_{j}-a_{k})(b_{i_{j}}-b_{ik})\geq 0}
a
j
b
i
j
+
a
k
b
i
k
≥
a
j
b
i
k
+
a
k
b
i
j
.
{\displaystyle a_{j}b_{i_{j}}+a_{k}b_{i_{k}}\geq a_{j}b_{i_{k}}+a_{k}b_{i_{j}}.}
mulţimea numerelor naturale:
N
=
{
1
,
2
,
3
,
⋯
}
.
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\cdots \}.}
mulţimea numerelor întregi:
Z
=
{
⋯
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
⋯
}
.
{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}.}
mulţimea numerelor întregi negative:
Z
−
=
{
⋯
,
−
3
,
−
2
,
−
1
}
.
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}=\{\cdots ,-3,-2,-1\}.}
mulţimea numerelor raţionale:
Q
=
{
x
|
x
a
b
∧
a
∈
Z
∧
b
∈
Z
∧
b
≠
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\;|\;x{\frac {a}{b}}\land a\in \mathbb {Z} \land b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}.}
numerele iraţionale: conţin zecimale care nu se repetă şi care nu sunt în număr finit.
mulţimea numerelor reale:
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
mulţimea numerelor complexe:
C
=
{
x
+
i
y
|
x
∈
R
∧
y
∈
R
}
.
{\displaystyle \mathbb {C} =\{x+\mathbf {i} y\;|\;x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \}.}
N
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
⊂
C
.
{\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset C.}
![{\displaystyle [N,N+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e029439eb8e5a6eb481acda397884929ad2d35e4)
![{\displaystyle \left[N+{\frac {m}{n}},N+{\frac {m+1}{n}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91541730b8be4a1564777b40779e78bd9cdf1e43)
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e462ea964e889b915be978ab2e2f41b256d1623)
![{\displaystyle x_{i}={\frac {a_{i}}{\sqrt[{n}]{{\underset {i=1}{\overset {n}{\prod }}}a_{i}}}},\qquad i={\overline {1,n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab451b673c153ff40426ac35a04f8f417fe815e)
