Analiză matematică/Definiția funcției/Exerciții

1. Fie $f:X\to Y$ o funcție. Atunci:

a)   $f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B),\;\forall A,B\subset Y$

b)   $f^{-1}({\mathcal {C}}_{Y}B)={\mathcal {C}}_{X}f^{-1}(B),\;\forall B\subset Y.$

R.

a) Să considerăm două mulțimi arbitrare $A,B\subset Y,$ momentan fixate.

Fie $x\in f^{-1}(A\setminus B)\;\Leftrightarrow \;f(x)\in A\setminus B\;\Leftrightarrow \;\left(f(x)\in A\;\land f(x)\notin B\right)\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \;\left(x\in f^{-1}(A)\;\land \;x\notin f^{-1}(B)\right)\;\Leftrightarrow \;x\in f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B).$

Deci $f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B).$

b) Se consideră o mulțime arbitrară $B\subset Y,$ momentan fixată.

Fie $x\in f^{-1}({\mathcal {C}}_{Y}B)\;\Leftrightarrow \;f(x)\in {\mathcal {C}}_{Y}B\;\Leftrightarrow \;f(x)\notin B\;\Leftrightarrow \;x\notin f^{-1}(B)\;\Leftrightarrow \;x\in {\mathcal {C}}_{X}f^{-1}(B)$ adică $f^{-1}({\mathcal {C}}_{Y}B)={\mathcal {C}}_{X}f^{-1}(B).$

---

2. Fie $f:X\to Y$ o funcție. Să se arate:

a)   $f$ este injectivă   $\Rightarrow \;\exists g:Y\to X$   injectivă astfel încât $f\circ g=1_{X}.$

b)   $f$ este surjectivă   $\Leftrightarrow \;\exists g:Y\to X$   injectivă astfel încât $f\circ g=1_{Y}.$

R.

a) Fie $f$ funcția injectivă.

Se definește funcția $g_{0}:f(X)\to Y$ prin $g_{0}(f(x))=x,\;\forall x\in X.$ Prelungim pe $g_{0}$ pe mulțimea $Y$ punând de exemplu $g:Y\to X,$

$g(y)={\begin{cases}g_{0}(y),&{\text{dacă}}\;y\in f(X)\\x_{0},&{\text{dacă}}\;y\in Y\setminus f(X)\end{cases}},$

unde $x_{0}$ este un element din mulțimea $X(\neq \emptyset ).$

Atunci $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x,\;\forall x\in X,$ adică $g\circ f=1_{X}$ și evident $g(Y)=X,$ deci $g$ este surjectivă.