Analiză matematică/Definiția funcției

Studiul anumitor procese, fenomene impune considerarea variației unei mărimi fizice în raport cu alta. De exemplu, în studiul mișcării se poate considera variația unei coordonate de pe traiectorie în raport de timpul și se spune că acea coordonată este o funcție de timp.

Definiție. Dacă printr-un procedeu se poate face ca unei variabile $x\in D$ să îi corespundă o variabilă $y\in E,$ atunci se spune că s-a definit o funcție de pe mulțimea $D$ (numită domeniu) pe mulțimea $E$ (numită codomeniu) și se notează $f:D\to E,$ iar legea de corespondență se notează $y=f(x).$

Exemplu. Funcția care stabilește valoarea $A$ a ariei unui cerc de rază $r$ este $A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;A(r)=\pi r^{2}.$

Reprezentarea unei funcții

O funcție poate fi reprezentată prin diagrame, prin tabel, printr-un grafic sau analitic.

Reprezentarea prin diagrame

Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul $\{1,2,3,4\}$ și codomeniul $\{a,b,c,d\}$

Reprezentare prin tabel

Prin acest mod de reprezentare se indică faptul că valorilor $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ ale argumentului $x$ corespund valorile $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}$ ale argumentului $y:$

$\mathbf {x}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$
$\mathbf {y}$	$y_{1}$	$y_{2}$	$\cdots$	$y_{n}$

Graficul unei funcții

Graficul unei funcţii $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

În cazul funcțiilor $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=y,$ reprezentarea grafică se realizează cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangulare $xOy,$ unde pe axa $Ox$ se reprezintă valorile lui $x,$ iar pe $Oy$ cele ale lui $y.$

În cazul funcțiilor de două variabile, de forma $z=f(x,y),$ pentru reprezentarea grafică se va face apel la sistemul de coordonate tridimensional $Oxyz.$

Reprezentarea analitică a unei funcții

Acest tip de scriere a unei funcții face apel la expresia matematică ce definește corespondența dintre argument și valoarea funcției în acel punct.

Exemple: $f(x)=\sin x,\;g(x)={\frac {x-1}{x^{2}+1}},\;\varphi (x)=2^{x}-{\sqrt {5+3x}}.$

Compunerea a două funcții

Se consideră funcțiile $f:D\to E$ și $g:E\to F.$ Funcția notată $g\circ f:D\to F$ și definită prin:

$g\circ f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g(f(x)),\;\forall x\in D,$

se numește compunerea funcțiilor $f,g.$

Observații.

(i) În general, compunerea a două funcții nu este comutativă (dacă este posibilă în ambele sensuri).

(ii) Pentru a putea compune funcțiile $f,g$ (în această ordine) este necesar ca codomeniul lui $f$ să fie egal cu domeniul de definiție a lui $g.$

Inversa unei funcții

O funcție $f:D\to E$ se numește injectivă dacă

$\forall x,y\in D,\;x\neq y\;\Rightarrow \;f(x)\neq f(y).$

O funcție $f:D\to E$ se numește surjectivă dacă

$\forall y\in E,\;\exists x\in D\;{\text{ astfel încât }}y=f(x).$

O funcție $f:D\to E$ se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă. În acest caz, se spune că mulțimile $D,E$ sunt în corespondență biunivocă.

O funcție $f:D\to E$ se numește inversabilă dacă există o funcție $f^{-1}:E\to D$ care satisface simultan condițiile:

(i) $f^{-1}\circ f(x)=x,\;\forall x\in D;$

(ii) $f\circ f^{-1}(y)=y,\;\forall y\in E.$

Funcții elementare

Câteva funcții elementare (care vor fi studiate ulterior detaliat) sunt:

• funcția putere: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{\alpha },$ unde   $\alpha >0;$
• funcția exponențială: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=a^{x},$ unde   $a>0.$
• funcția logaritmică: $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\log _{a}x,\;$ unde $a>0;$
• funcțiile trigonometrice:
  • sinus: $y=\sin x,$
  • cosinus: $y=\cos x,$
  • tangentă: $y=\tan x,$
  • cotangentă: $y=\cot x;$
• funcțiile trigonometrice inverse: $y=\arcsin x,\;y=\arccos x,\;y=\arctan x.$

Graficul funcţiei signum

• funcția signum (funcția semn): $\operatorname {sgn} :\mathbb {R} \to \{-1,0,1\}$

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{dacă }}x<0,\\0&{\text{dacă }}x=0,\\1&{\text{dacă }}x>0.\end{cases}}$