Ilustrarea vecinătăţii
(
a
−
ε
,
a
+
ε
)
{\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}
a
{\displaystyle a}
Fie
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
vecinătate a lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
{\displaystyle V}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
x
0
∈
(
a
,
b
)
⊂
V
.
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)\subset V.}
Vecinătățile lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
1) Orice mulțime
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
U
⊃
V
⊃
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle U\supset V\supset (a,b).}
2) Intersecția a două vecinătăți ale lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
3) Oricare ar fi punctele
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
W
{\displaystyle W}
y
{\displaystyle y}
V
∩
W
=
∅
.
{\displaystyle V\cap W=\emptyset .}
Dacă
x
<
y
,
{\displaystyle x<y,}
c
{\displaystyle c}
x
<
c
<
y
;
{\displaystyle x<c<y;}
V
=
(
a
,
c
)
,
W
=
(
c
,
b
)
,
a
<
x
,
y
<
b
{\displaystyle V=(a,c),\;W=(c,b),\;a<x,\;y<b}
(
a
,
c
)
∩
(
c
,
b
)
=
∅
.
{\displaystyle (a,c)\cap (c,b)=\emptyset .}
În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice :
|
x
−
x
0
|
<
ε
{\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }
(
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
)
,
ε
>
0.
{\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ),\quad \varepsilon >0.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
interior unei mulțimi
A
{\displaystyle A}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
,
{\displaystyle A,}
x
0
∈
(
a
,
b
)
⊆
A
.
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)\subseteq A.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
C
A
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}A.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
punct frontieră al unei mulțimi
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
C
A
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}A.}
Exemplu :
Pentru intervalul închis
[
1
,
3
]
,
{\displaystyle [1,3],}
x
1
=
2
{\displaystyle x_{1}=2}
x
2
=
3
{\displaystyle x_{2}=3}
x
3
=
4
{\displaystyle x_{3}=4}
O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă .
Exemplu :
Mulțimile:
(
a
,
b
)
,
(
a
,
b
)
∪
(
c
,
d
)
,
R
(
{\displaystyle (a,b),\;(a,b)\cup (c,d),\;\mathbb {R} \;(}
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
,
a
<
b
<
c
<
d
)
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} ,a<b<c<d)}
Teoremă .
O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.
Demonstrație .
Fie
A
{\displaystyle A}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
c
.
{\displaystyle c.}
A
{\displaystyle A}
[
a
,
c
]
,
[
c
,
b
]
{\displaystyle [a,c],\;[c,b]}
A
.
{\displaystyle A.}
[
a
1
,
b
1
]
.
{\displaystyle [a_{1},b_{1}].}
a
1
,
b
1
{\displaystyle a_{1},b_{1}}
b
1
−
a
1
=
b
−
a
2
{\displaystyle b_{1}-a_{1}={\frac {b-a}{2}}}
Să presupunem că am găsit două numere raționale
a
n
,
b
n
{\displaystyle a_{n},b_{n}}
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
A
.
{\displaystyle A.}
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
.
{\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}].}
a
n
+
1
,
b
n
+
1
{\displaystyle a_{n+1},b_{n+1}}
a
n
≤
a
n
+
1
<
b
n
+
1
≤
b
n
,
b
n
+
1
−
a
n
+
1
=
b
−
a
2
n
+
1
.
{\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n},\qquad b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {b-a}{2^{n+1}}}.}
Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:
[
a
1
,
b
1
]
⊃
[
a
2
,
b
2
]
⊃
⋯
⊃
[
a
n
,
b
n
]
⊃
⋯
,
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,}
unde șirurile de numere:
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots }
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
,
⋯
{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots }
au următoarele proprietăți:
1)
a
1
≤
a
2
≤
a
3
≤
⋯
≤
a
n
≤
⋯
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots \leq a_{n}\leq \cdots }
2)
b
1
≥
b
2
≥
b
3
≥
⋯
≥
b
n
≥
⋯
{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \cdots \geq b_{n}\geq \cdots }
3)
b
n
−
a
n
=
b
−
a
2
n
{\displaystyle b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}}
n
∈
N
,
b
p
>
a
q
,
p
,
q
∈
N
;
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;b_{p}>a_{q},\;p,q\in \mathbb {N} ;}
4) Segmentul
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
A
.
{\displaystyle A.}
Primii cinci paşi în construcţia mulțimii lui Cantor Se consideră un șir de intervale:
I
0
,
I
1
,
I
2
,
⋯
,
I
n
,
⋯
,
{\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n},\cdots ,}
Se ia
I
0
=
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle I_{0}=[0,1].}
I
0
{\displaystyle I_{0}}
(
1
3
,
2
3
)
,
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),}
I
1
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
3
,
1
]
.
{\displaystyle I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].}
Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele
[
0
,
1
3
]
,
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right],\;\left[{\frac {2}{3}},1\right]}
I
2
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
3
9
]
∪
[
6
9
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
1
]
.
{\displaystyle I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].}
Șirul de intervale
I
0
,
I
1
,
I
2
,
⋯
{\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\cdots }
I
0
⊃
I
1
⊃
I
2
⊃
⋯
{\displaystyle I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots }
I
n
{\displaystyle I_{n}}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
3
−
n
.
{\displaystyle 3^{-n}.}
Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind
C
=
⋂
n
∈
N
I
n
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}.}
Teoremă.
Mulțimea lui Cantor
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
a)
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
b) Mulțimea
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate ); în particular, rezultă că
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Demonstrație.
a)
Mulțimea
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
b)
Din contrucție, rezultă:
C
∩
(
3
k
+
1
3
m
,
3
k
+
2
3
m
)
=
∅
,
∀
k
,
m
∈
N
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap \left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)=\emptyset ,\;\forall k,m\in \mathbb {N} .}
Dar orice interval
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
(
3
k
+
1
3
m
,
3
k
+
2
3
m
)
{\displaystyle \left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)}
m
{\displaystyle m}
3
−
m
<
β
−
α
6
.
{\displaystyle 3^{-m}<{\frac {\beta -\alpha }{6}}.}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
c)
Fie
a
∈
C
{\displaystyle a\in {\mathcal {C}}}
S
{\displaystyle S}
a
;
{\displaystyle a;}
n
∈
N
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
a
.
{\displaystyle a.}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
J
n
0
⊆
S
.
{\displaystyle J_{n0}\subseteq S.}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
a
,
{\displaystyle a,}
x
n
∈
C
∩
S
,
x
n
≠
a
,
∀
n
≥
n
0
.
{\displaystyle x_{n}\in {\mathcal {C}}\cap S,\;x_{n}\neq a,\;\forall n\geq n_{0}.}
![{\displaystyle [1,3],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e329a3ff26f4b3ada1dd30d39ddb3b9143b5af8)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [a,c],\;[c,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2b0beb772d2f971869145704a42ab2965b8b0a)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f663635d41f1418ec7ff5683289623c94510e5)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30ce1f218c7164247ad32fbbcde76c02c817bd1)
![{\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266bcd244d2a527ecabf233dc8e8f8f5baae8ef4)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa5918c2efcad7d60bfec929aca11d6b8af628c)
![{\displaystyle I_{0}=[0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455fd2aca1cc679a14a1a0280f2c70a137d0afbe)
![{\displaystyle I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e2ea231dda44e7bfe6b66307bbdfb780b1c04)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right],\;\left[{\frac {2}{3}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877d0062f16c2e55297b34ecef1617294f26cd3c)
![{\displaystyle I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5632db50b1b6d1b7aa16f68a8a8c7598fc19d9)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
