Analiză matematică/Spațiul n-dimensional

Spațiul n-dimensional constituie o generalizare a spațiului unidimensional $\mathbb {R} .$

Definiții

Pentru $p\in \mathbb {N} ^{*},\;p\geq 2$ fixat, se definește:

$\mathbb {R} ^{p}={\underset {\text{de p ori}}{\underbrace {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} } }}=\{(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p})\;:\;x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\in \mathbb {R} \}.$

De exemplu:

$\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {R} \},\;\mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)\;:\;x,y,z\in \mathbb {R} \}.$

Mulțimea $\mathbb {R} ^{p}$ poate fi înzestrată cu o structură algebrică de spațiu vectorial real, definind adunarea și înmulțirea cu scalari prin:

$(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p})+(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{p})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\cdots x_{p}+y_{p}).$

$\alpha \cdot (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p})=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\cdots ,\alpha x_{p})$

pentru orice $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p}),(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{p})\in \mathbb {R} ^{p}$ și $\alpha \in \mathbb {R} .$

În timp ce mulțimea numerelor reale este total ordonată, între elementele mulțimii $\mathbb {R} ^{p}$ nu poate fi definită o relație de ordine totală compatibilă cu structura algebrică, de aceea unele proprietăți ale funcțiilor reale de o variabilă reală nu se pot enunța în cazul funcțiilor reale de mai multe variabile reale.

Spațiu topologic

Definiție. Dacă $X$ este o mulțime nevidă, se spune că se definește o structură topologică (topologie) pe aceasta dacă, pentru fiecare $x\in X,$ se poate evidenția o familie ${\mathcal {V}}(x)$ de submulțimi ale lui $X$ cu proprietățile:

$[V_{1}]\quad x\in V,\;\forall V\in {\mathcal {V}}(x);$ $[V_{2}]$   dacă $U,V\in {\mathcal {V}}(x)$   atunci $U\cap V\in {\mathcal {V}}(x);$ $[V_{3}]$ dacă $V\in {\mathcal {V}}(x)$   și $V\subseteq A$   atunci $A\in {\mathcal {V}}(x);$ $[V_{4}]$   oricare ar fi $V\in {\mathcal {V}}(x),$ există $W\in {\mathcal {V}}(x)$   încât $V\in {\mathcal {V}}(y),$ pentru orice $y\in W.$

Familia ${\mathcal {V}}(x)$ se numește sistem de vecinătăți ale punctului $x.$

O mulțime înzestrată cu o structură topologică se numește spațiu topologic.

Spațiu metric

Definiție. Fie $X$ o mulțime nevidă și o funcție $d:X\times X\to \mathbb {R} .$ Se spune că perechea $(X,d)$ formează un spațiu metric (în care caz, $d$ se numește metrică sau distanță) dacă sunt satisfăcute proprietățile:

$[D_{1}]\quad d(x,y)\geq 0,\;\forall x,y\in X$ cu $d(x,y)=0\;\Leftrightarrow \;x=y;$ $[D_{2}]\quad d(x,y)=d(y,x),\;\forall x,y\in X;$ $[D_{3}]\quad d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z),\;\forall x,y,z\in X.$

Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric, $x\in X,r\in \mathbb {R} ,r>0,$ atunci mulțimea:

${\mathcal {S}}(x,r)=\{y\in X\;|\;d(x,y)<r\}$

se numește sferă deschisă cu centrul în $x$ și rază $r.$

Teoremă. Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric, pentru fiecare $x\in X,$ familia ${\mathcal {V}}(x)=\{V\subset X\;|\;\exists r>0,\;{\mathcal {S}}(x,r)\subset V\}$ formează un sistem de vecinătăți ale punctului $x;$ deci orice spațiu metric este în mod natural un spațiu topologic.

În plus, pentru orice $x\in X,\quad {\mathcal {V}}(x)$ deține două proprietăți remarcabile:

(i) Dacă $x,y\in X,x\neq y$ atunci există $U\in {\mathcal {V}}(x),V\in {\mathcal {V}}(y)$ astfel încât $U\cap V=\emptyset$ (proprietatea de separare);

(ii) Există $(V_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ astfel încât:

-- oricare ar fi $V\in \mathbb {V} (x)$ există un $n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $V_{n_{0}}\subset V$

-- dacă $n,m\in \mathbb {N} ^{*},n\leq m$ atunci $V_{n}\supset V_{m}$ (această proprietate este cunoscută sub numele de prima axiomă a numărabilității).

Revenind la $\mathbb {R} ^{p}$ care este înzestrat cu o structură algebrică pe spațiu vectorial real, se poate defini o structură de spațiu metric utilizând două noțiuni particulare importante, produsul scalar și norma, care se definesc numai în spații vectoriale.

Definiție. Produsul scalar euclidian între elementele lui $\mathbb {R} ^{p}$ este definit prin:

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{p}y_{p},$

pentru orice $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p}),y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{p})\in \mathbb {R} ^{p}.$