Analiză matematică/Serii de numere

Noțiunea de serie de numere reale a apărut din necesitatea studiului termenilor unui șir de numere reale. Deoarece nu se pot aduna în sens algebric o infinitate de numere reale, realizarea acestui scop a devenit posibilă prin introducerea noțiunii de limită.

Definiție

Fie $x_{n}$ un șir de numere reale și fie $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ șirul sumelor parțiale asociat. Seria $\sum _{n}x_{n}$ se numește convergentă dacă șirul $s_{n}$ este șir convergent. În acest caz, limita respectivă se va nota $\sum _{n}x_{n}.$

În cazul în care seria este convergentă, numărul real $S=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}x_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ se numește suma seriei.

Observații.

  (i) Trebuie să fie realizată distincția între seria $\sum _{n\geq 0}x_{n}$ și suma sa $s=\sum _{n=0}^{\infty },$ care este un element asociat seriei numai în caz de convergență și care reprezintă suma termenilor șirului dat. În cazul în care seria este divergentă, nu se poate atribui niciun sens sumei termenilor șirului care generează seria.

  (ii) În studiul unei serii, rolul principal este jucat de șirul sumelor parțiale, care sunt sume finite. Prin trecerea la limită, se pierd o parte din proprietățile sumelor finite. Astfel, la sumele seriilor nu sunt valabile proprietățile de comutativitate sau de asociativitate; seriile nu pot fi, în general, înmulțite.

  (iii) Dacă se renunță la un număr finit de termeni ai unei serii (sau dacă se adaugă un număr finit de termeni) seria nou obținută va avea aceeași natură ca și seria inițială. În caz de convergență, suma se modifică scăzând (sau adăugând) suma finită a termenilor la care se renunță (respectiv, care sa adaugă).

  (iv) Problema principală în studiul unei serii este determinarea naturii și, în caz de convergență, evaluarea exactă sau măcar aproximativă a sumei seriei respective.

Proprietăți generale

1. Dacă într-o serie se schimbă ordinea unui număr finit de termeni, se obține o nouă serie de aceeași natură; dacă seria inițială are sumă, atunci seria obținută prin această schimbare are aceeași sumă.

2. Dacă la o serie se adaugă sau se scoate un număr finit de termeni, se obține o nouă serie de aceeași natură; dar cu altă sumă, în cazul în care seria inițială este convergentă.

3. Dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este convergentă, atunci pentru orice șir $(k_{n})_{n}$ crescător, divergent, se numere naturale, seria:

$(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{k_{1}})+(u_{k_{1}+1}+\cdots +u_{k_{2}})+\cdots +(u_{k_{n}+1}+\cdots +u_{k_{n+1}})+\cdots$

este de asemenea convergentă și are aceeași sumă; dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este divergentă, dar are sumă, atunci și seria de mai sus este divergentă și are aceeași sumă. Dacă există un șir $(k_{n})_{n}$ astfel încât seria de mai sus să fie divergentă, atunci și seria $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este divergentă.

4. Dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este convergentă, șirul sumelor parțiale este mărginit.

5. Fie $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ o serie convergentă și $\sum _{n=p+1}^{\infty }u_{n}$ seria convergentă obținută prin înlăturarea primilor $p$ termeni. Suma seriei $\sum _{n=p+1}^{\infty }u_{n}$ se notează cu $R_{p}$ și se numește restul de ordin n al seriei $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}.$ Cu ajutorul acestei noțiuni se poate enunța proprietatea: Resturile unei serii convergente formează un șir convergent către zero.

6. Seriile $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ și $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha u_{n},$ unde $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ sunt de aceeași natură.

7. Dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este convergentă, șirul $(u_{n})_{n}$ al termenilor săi este convergent către zero. Reciproca nu este adevărată: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ se va demonstra că este divergentă, dar $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.$ Această proprietate, numită condiția necesară de convergență se mai poate enunța în următoarea formulare echivalentă, utilă în aplicații:

8. Dacă șirul termenilor unei serii nu este convergent, seria este divergentă.

Criterii de convergență pentru serii

Criteriul general al lui Cauchy

Fie $x_{n}$ un șir de numere reale; atunci seria $\sum _{n}x_{n}$ este convergentă dacă și numai dacă $\forall \varepsilon >0,\exists n(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ cu proprietatea:

$|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_{n+p}|<\varepsilon ,\;\forall n\geq n(\varepsilon ),\;\forall p\in \mathbb {N} .$

Criteriul comparației

Fie șirurile de termeni pozitivi $u_{n},\;v_{n}$ cu proprietatea: $u_{n}\geq v_{n}\geq 0.$

a. Dacă seria $\sum _{n}u_{n}$ este convergentă, atunci și seria $\sum _{n}v_{n}$ este convergentă.

b. Dacă seria $\sum _{n}v_{n}$ este convergentă, atunci și seria $\sum _{n}u_{n}$ este convergentă.

Criteriul de comparație la limită

Fie două șiruri pozitive $u_{n}>0,\;v_{n}>0.$

a. Dacă $\lim _{n\ to\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}$ există și este un număr real nenul, atunci seriile $\sum _{n}u_{n},\;\sum _{n}v_{n}$ au aceeași natură.

b. În particular, dacă $v_{n}={\frac {1}{n^{\alpha }}},$ atunci obținem criteriul de comparație la limită cu seria lui Riemann

Fie $l=\lim _{n\to infty}n^{\alpha }u_{n}.$

i. Dacă $\alpha >1$ și $l\in \mathbb {R} ,\qquad (l$ poate fi și 0), atunci seria $\sum _{n}$ este convergentă.

ii. Dacă $\alpha \leq 1$ și $l>0,\qquad (l$ poate fi și $\infty )$, atunci seria $\sum _{n}$ este divergentă.

Criteriul raportului (al lui D'Alembert )

Fie $u_{n}>0;$ presupunem că există $\lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=l.$

a. Dacă $l<1,$ atunci seria $\sum _{n}u_{n}$ este convergentă.

b. Dacă $l>1,$ atunci seria $\sum _{n}u_{n}$ este divergentă.

O variantă mai generală a acestui criteriu este:

Dacă există $c\in (0,1)$ și $n_{0}\in \mathbb {N}$ astfel încât:

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<c,\;\forall n\geq n_{0},$

atunci seria $\sum _{n}u_{n}$ este convergentă.

Cazuri particulare de serii

Serii cu termeni pozitivi

Proprietăți

1. Șirul sumelor parțiale ale unei serii cu termeni pozitivi este strict crescător.

2. O serie cu termeni pozitivi are întotdeauna sumă (finită sau nu).

3. O serie cu termeni pozitivi este convergentă dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginit.

4. Dacă $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ este o serie cu termeni pozitivi, atunci acesta are aceeași natură cu seria: $(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{k_{1}})+(u_{k_{1}+1}+\cdots +u_{k_{2}})+\cdots +(u_{k_{n}+1}+\cdots +u_{k_{n+1}})+\cdots$

unde $(k_{n})_{n}$ este un șir crescător divergent de numere naturale.

Serii alternate

Definiție. Se numește serie alternată o serie $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ pentru care produsul $u_{n}u_{n+1}<0,\;\forall n\in \mathbb {N} .$

Criteriul lui Leibniz. Fie $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}u_{n}$ o serie alternată. Dacă șirul $(u_{n})_{n}$ este descrescător și converge către 0, atunci seria este convergentă.

Exemple

Seria geometrică

Fie $a\in \mathbb {R}$ și $q\in \mathbb {R}$ numit rație și fie seria geometrică $\sum _{n\geq 0}aq^{n}.$

Suma parțială de rang $n$ a seriei este:

$s_{n}=a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}={\begin{cases}a{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&pentru\;q\neq 1\\na,&pentru\;q=1\end{cases}}$

Dacă $|q|<1,$ atunci $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},$ deci seria geometrică este convergentă în acest caz și are suma ${\frac {q}{1-q}}.$

Dacă $|q|\geq 1,$ atunci se observă imediat că șirul termenilor seriei nu converge către zero, deci conform proprietății 8, seria geometrică este divergentă în acest caz.

Seria armonică

Seria $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}$ se numește serie armonică. Deoarece:

$a_{2n}-a_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{n+n}}\geq {\underset {\text{n termeni}}{\underbrace {\displaystyle \left({\frac {1}{n+n}}+{\frac {1}{n+n}}+\cdots +{\frac {1}{n+n}}\right)} }}={\frac {1}{2}}$

rezultă că șirul sumelor parțiale nu este fundamental. Rezultă că seria armonică este divergentă.