Analiză matematică/Serii de numere

Noțiunea de serie de numere reale a apărut din necesitatea studiului termenilor unui șir de numere reale. Deoarece nu se pot aduna în sens algebric o infinitate de numere reale, realizarea acestui scop a devenit posibilă prin introducerea noțiunii de limită.

Definiție modificare

Fie   un șir de numere reale și fie   șirul sumelor parțiale asociat. Seria   se numește convergentă dacă șirul   este șir convergent. În acest caz, limita respectivă se va nota  

În cazul în care seria este convergentă, numărul real   se numește suma seriei.

Observații.

  (i) Trebuie să fie realizată distincția între seria   și suma sa   care este un element asociat seriei numai în caz de convergență și care reprezintă suma termenilor șirului dat. În cazul în care seria este divergentă, nu se poate atribui niciun sens sumei termenilor șirului care generează seria.

  (ii) În studiul unei serii, rolul principal este jucat de șirul sumelor parțiale, care sunt sume finite. Prin trecerea la limită, se pierd o parte din proprietățile sumelor finite. Astfel, la sumele seriilor nu sunt valabile proprietățile de comutativitate sau de asociativitate; seriile nu pot fi, în general, înmulțite.

  (iii) Dacă se renunță la un număr finit de termeni ai unei serii (sau dacă se adaugă un număr finit de termeni) seria nou obținută va avea aceeași natură ca și seria inițială. În caz de convergență, suma se modifică scăzând (sau adăugând) suma finită a termenilor la care se renunță (respectiv, care sa adaugă).

  (iv) Problema principală în studiul unei serii este determinarea naturii și, în caz de convergență, evaluarea exactă sau măcar aproximativă a sumei seriei respective.

Proprietăți generale modificare

1. Dacă într-o serie se schimbă ordinea unui număr finit de termeni, se obține o nouă serie de aceeași natură; dacă seria inițială are sumă, atunci seria obținută prin această schimbare are aceeași sumă.

2. Dacă la o serie se adaugă sau se scoate un număr finit de termeni, se obține o nouă serie de aceeași natură; dar cu altă sumă, în cazul în care seria inițială este convergentă.

3. Dacă seria   este convergentă, atunci pentru orice șir   crescător, divergent, se numere naturale, seria:

 

este de asemenea convergentă și are aceeași sumă; dacă seria   este divergentă, dar are sumă, atunci și seria de mai sus este divergentă și are aceeași sumă. Dacă există un șir   astfel încât seria de mai sus să fie divergentă, atunci și seria   este divergentă.

4. Dacă seria   este convergentă, șirul sumelor parțiale este mărginit.

5. Fie   o serie convergentă și   seria convergentă obținută prin înlăturarea primilor   termeni. Suma seriei   se notează cu   și se numește restul de ordin n al seriei   Cu ajutorul acestei noțiuni se poate enunța proprietatea: Resturile unei serii convergente formează un șir convergent către zero.

6. Seriile   și   unde   sunt de aceeași natură.

7. Dacă seria   este convergentă, șirul   al termenilor săi este convergent către zero. Reciproca nu este adevărată:   se va demonstra că este divergentă, dar   Această proprietate, numită condiția necesară de convergență se mai poate enunța în următoarea formulare echivalentă, utilă în aplicații:

8. Dacă șirul termenilor unei serii nu este convergent, seria este divergentă.

Criterii de convergență pentru serii modificare

Criteriul general al lui Cauchy modificare

Fie   un șir de numere reale; atunci seria   este convergentă dacă și numai dacă   cu proprietatea:

 

Criteriul comparației modificare

Fie șirurile de termeni pozitivi   cu proprietatea:  

a. Dacă seria   este convergentă, atunci și seria   este convergentă.
b. Dacă seria   este convergentă, atunci și seria   este convergentă.

Criteriul de comparație la limită modificare

Fie două șiruri pozitive  

a. Dacă   există și este un număr real nenul, atunci seriile   au aceeași natură.
b. În particular, dacă   atunci obținem criteriul de comparație la limită cu seria lui Riemann

Fie  

i. Dacă   și   poate fi și 0), atunci seria   este convergentă.
ii. Dacă   și   poate fi și  , atunci seria   este divergentă.

Criteriul raportului (al lui D'Alembert ) modificare

Fie   presupunem că există  

a. Dacă   atunci seria   este convergentă.
b. Dacă   atunci seria   este divergentă.

O variantă mai generală a acestui criteriu este:

Dacă există   și   astfel încât:

 

atunci seria   este convergentă.

Cazuri particulare de serii modificare

Serii cu termeni pozitivi modificare

Proprietăți

1. Șirul sumelor parțiale ale unei serii cu termeni pozitivi este strict crescător.

2. O serie cu termeni pozitivi are întotdeauna sumă (finită sau nu).

3. O serie cu termeni pozitivi este convergentă dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginit.

4. Dacă   este o serie cu termeni pozitivi, atunci acesta are aceeași natură cu seria:  

unde   este un șir crescător divergent de numere naturale.

Serii alternate modificare

Definiție. Se numește serie alternată o serie   pentru care produsul  

Criteriul lui Leibniz. Fie   o serie alternată. Dacă șirul   este descrescător și converge către 0, atunci seria este convergentă.

Exemple modificare

Seria geometrică modificare

Fie   și   numit rație și fie seria geometrică  

Suma parțială de rang   a seriei este:

 

Dacă   atunci   deci seria geometrică este convergentă în acest caz și are suma  

Dacă   atunci se observă imediat că șirul termenilor seriei nu converge către zero, deci conform proprietății 8, seria geometrică este divergentă în acest caz.

Seria armonică modificare

Seria   se numește serie armonică. Deoarece:

 

rezultă că șirul sumelor parțiale nu este fundamental. Rezultă că seria armonică este divergentă.