Analiză matematică/Serii de funcții

Fie $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ un șir de funcții, $f_{n}:E\to \mathbb {R} .$

Definiție. Se numește serie de funcții o serie de forma:

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}=f_{1}+f_{2}+\cdots$

Pentru orice punct $x_{0}\in E$ se poate defini seria numerică $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0}),$ ce poate fi convergentă sau divergentă.

Definiție. Seria de funcții $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ se numește convergentă în punctul $x_{0}\in E$ dacă seria numerică $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0})$ este convergentă. Mulțimea punctelor $x\in E$ în care seria $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ este convergentă se numește mulțime de convergență a seriei date și se va nota cu $X.$

Convergență simplă

Definiție. Fie șirul de funcții $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },\;f_{n}:E\to \mathbb {R} .$ Se spune că seria de funcții $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ converge simplu către funcția $f$ dacă seria numerică $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ converge la $f(x)$ pentru orice $x\in E.$ Funcția $f$ se numește suma seriei $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}.$

Propoziție. Seria $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ este simplu convergentă pe $E$ către $f$ dacă și numai dacă pentru orice $\varepsilon >0$ și pentru orice $x\in E,$ există un număr $N_{\varepsilon ,x}$ astfel încât pentru orice $n\geq N_{\varepsilon ,x}$ avem:

$|f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$

pentru orice $x\in E.$