Soluțiile ecuației de gradul al doilea:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
a
,
b
,
c
∈
R
,
a
≠
0
,
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ,\;a\neq 0,}
sunt date de:
x
1
,
2
=
−
b
±
Δ
2
a
,
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}},}
unde
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac}}}
discriminantul ecuației.
Dacă
Δ
<
0
,
{\displaystyle \Delta <0,}
i cu proprietatea:
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.}
Mulțimea numerelor complexe
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
z
=
α
+
i
β
,
{\displaystyle z=\alpha +i\beta ,}
α
,
β
∈
R
.
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .}
Numărul real
α
{\displaystyle \alpha }
partea reală a numărului complex
z
,
{\displaystyle z,}
β
{\displaystyle \beta }
R
e
{
z
}
=
α
,
I
m
{
z
}
=
β
.
{\displaystyle Re\{z\}=\alpha ,\;Im\{z\}=\beta .}
Prin introducerea numerelor complexe, ecuația de gradul al doilea admite soluții și pentru
Δ
<
0
:
{\displaystyle \Delta <0:}
x
1
,
2
=
−
b
±
i
−
Δ
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}}
Un număr complex poate fi scris:
z
=
x
+
i
y
,
{\displaystyle z=x+iy,}
unde
x
=
R
e
{
z
}
,
y
=
I
m
{
z
}
∈
R
.
{\displaystyle x=Re\{z\},y=Im\{z\}\in \mathbb {R} .}
Două numere complexe
z
1
=
x
1
+
i
y
1
,
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1},\;z_{2}=x_{2}+iy_{2}}
z
1
=
z
2
⇔
x
1
=
x
2
{\displaystyle z_{1}=z_{2}\;\Leftrightarrow \;x_{1}=x_{2}}
y
1
=
y
2
.
{\displaystyle y_{1}=y_{2}.}
Adunarea și scăderea numerelor complexe
z
1
=
x
1
+
i
y
1
,
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1},\;z_{2}=x_{2}+iy_{2}}
z
1
+
z
2
=
(
x
1
+
x
2
)
+
i
(
y
1
+
y
2
)
{\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})}
z
1
−
z
2
=
(
x
1
−
x
2
)
+
i
(
y
1
−
y
2
)
{\displaystyle z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})}
Înmulțirea numerelor complexe
z
1
=
x
1
+
i
y
1
,
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1},\;z_{2}=x_{2}+iy_{2}}
z
1
z
2
=
(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
)
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
{\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}
Caz particular: Dacă unul din numere este real
(
α
∈
R
)
,
{\displaystyle (\alpha \in \mathbb {R} ),}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
α
z
=
α
x
+
i
α
y
.
{\displaystyle \alpha z=\alpha x+i\alpha y.}
Proprietățile înmulțirii numerelor complexe:
asociativitate:
z
1
(
z
2
z
3
)
=
(
z
1
z
2
)
z
3
,
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
;
{\displaystyle z_{1}(z_{2}z_{3})=(z_{1}z_{2})z_{3},\;\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} ;}
comutativitate:
z
1
z
2
=
z
2
z
1
,
∀
z
∈
C
;
{\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1},\;\forall z\in \mathbb {C} ;}
existența elementului neutru 1:
z
×
1
=
z
,
∀
z
∈
C
.
{\displaystyle z\times 1=z,\;\forall z\in \mathbb {C} .}
orice număr complex
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
z
−
1
=
a
a
2
+
b
2
−
i
b
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle z^{-1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}
(
C
∗
,
×
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\times )}
grup comutativ.
Modulul numărului complex
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
|
z
|
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
iar conjugatul acestuia este:
z
¯
=
x
−
i
y
.
{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy.}
Se observă că:
z
¯
¯
=
z
,
z
z
¯
=
|
z
|
2
,
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,\qquad z{\overline {z}}=|z|^{2},\qquad }
z
∈
C
.
{\displaystyle z\in \mathbb {C} .}
Reprezentarea numărului complex
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
Orice număr complex poate fi reprezentat în mod unic în plan cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangular, ale cărui axe sunt axa reală și axa imaginară.
Reciproc, oricărui punct din plan îi corespunde un număr complex, numit afixul punctului respectiv.
Formula lui Moivre se poate demonstra prin inducție matematică :
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
(
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
)
,
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=(\cos n\theta +i\sin n\theta ),}
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
