Analiză matematică/Numere complexe

Numerele complexe au fost introduse ca răspuns la necesitatea rezolvării ecuațiilor de gradul al doilea care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.

Definirea numerelor complexe modificare

Soluțiile ecuației de gradul al doilea:

  unde  

sunt date de:

 

unde   este discriminantul ecuației. Dacă   atunci ecuația nu admite soluții reale. Se definește unitatea imaginară i cu proprietatea:

 

Mulțimea numerelor complexe   este formată din numerele de forma   unde  

Numărul real   se numește partea reală a numărului complex   iar   partea imaginară. Se notează:

 

Prin introducerea numerelor complexe, ecuația de gradul al doilea admite soluții și pentru  

 

Algebra numerelor complexe modificare

Un număr complex poate fi scris:

 

unde  

Două numere complexe   sunt egale dacă și numai dacă părțile reale și respectiv imaginare ale acestora sunt egale:

  și  

Adunarea și scăderea numerelor complexe   se definește astfel:

 
 

Înmulțirea numerelor complexe   se definește astfel:

 

Caz particular: Dacă unul din numere este real   prin înmulțirea acestuia cu numărul complex   se obține:

 

Proprietățile înmulțirii numerelor complexe:

  • asociativitate:  
  • comutativitate:  
  • existența elementului neutru 1:  
  • orice număr complex   (de modul nenul, adică   sau  ) admite un invers dat de:

 


Toate aceste patru proprietăți arată că   este un grup comutativ.

Modulul numărului complex   se definește ca fiind:

 

iar conjugatul acestuia este:

 

Se observă că:

   pentru orice  

Planul complex modificare

 
Reprezentarea numărului complex  

Orice număr complex poate fi reprezentat în mod unic în plan cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangular, ale cărui axe sunt axa reală și axa imaginară. Reciproc, oricărui punct din plan îi corespunde un număr complex, numit afixul punctului respectiv.

Formula lui Moivre modificare

Formula lui Moivre se poate demonstra prin inducție matematică:

  pentru