Noțiunea de mulțime este un concept de bază al matematicii obţinut în urma unui proces de abstractizare.

Se vor nota mulţimile cu litere majuscule: iar elementele acestora cu litere mici: Familiile de mulţimi se vor nota cu litere ronde:

Dacă o mulțime este indicată prin elementele sale, mulțimea se notează enumerând între acolade aceste elemente. Dacă mulțimea este dată printr-o proprietate prin care elementele acesteia se disting de cele care nu aparțin mulțimii, atunci mulțimea se notează specificând această proprietate.

Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează

Exemple.

1) Mulțimea formată din elementele se notează:

2) Mulțimea formată din numerele naturale mai mari decât 100 se notează:

Dacă un element aparține mulțimii se notează

Relaţii între mulţimi

modificare

1. Definiție. Fie A şi B două mulţimi. Atunci se va scrie şi se va nota:

  •   (A este inclusă în B);
  •   (A este egală cu B);
  •   (A este inclusă strict în B);
  • Prin submulțime (parte) a unei mulțimi   se înțelege o mulțime inclusă în  
  • Submulțimile lui   diferite de   și   se numesc proprii, pe când   sunt denumite submulțimi improprii ale lui  

Fie două mulțimi   Dacă toate elementele mulțimii   sunt și elemente ale mulțimii   se va spune că   este submulțime a lui   și se notează:

  sau  

1. Propoziţie. Relația de incluziune (nestrictă) posedă următoarele proprietăți:

  1.   (reflexivitate);
  2.   și   (antisimetrie);
  3.   și   (tranzitivitate).

Operații cu mulțimi

modificare

Fie   două mulțimi. Se numește reuniunea mulțimilor   mulțimea   formată din elementele care aparțin cel puțin uneia din mulțimile   Se notează:

  sau  

În mod similar se definește reuniunea mai multor mulțimi  

  sau   sau   sau  

Se numește intersecție a mulțimilor   mulțimea   formată din elementele care aparțin simultan celor două mulțimi și se notează:

  și  

În cazul a   mulțimi:

  și   și   și  

Dacă intersecția a două mulțimi este vidă, atunci acestea se numesc mulțimi disjuncte.

Fie   o mulțime și   două submulțimi ale lui   Diferența mulțimilor   este mulțimea   formată din elementele care aparțin lui   și nu aparțin lui   Se notează:

  și  

Diferența   se numește complementara lui   în raport cu   și se notează   deci:

 

Dacă   sunt două mulțimi, atunci diferența simetrică a acestora se definește ca fiind:

 

Proprietăți ale reuniunii și intersecției

modificare

Dacă   este o mulțime și   atunci:

(i)       (asociativitate)
(ii)       (comutativitate)
(iii)       (element neutru)
(iv)       (idempotență).

Legile lui De Morgan

modificare

Fie   o mulțime și   o familie de submulțimi din   (  fiind o familie de indici). Atunci:

    (Legile lui De Morgan)

Demonstrație. Se va demonstra prima relație prin dublă incluziune. Mai întâi fie un element   Acest lucru este echivalent cu   Astfel s-a demonstrat că  

În mod similar avem:

  astfel încât   astfel încât  

Astfel s-a demonstrat și incluziunea inversă:   și deci prima relație din enunț este verificată. În mod similar se demonstrează și a doua.

Caz particular. În cazul a două mulțimi   relațiile lui De Morgan devin:

  •  
  •  

și arată că reuniunea și intersecția sunt operațiuni duale una celeilalte.

Paradoxul lui Russell

modificare

Paradoxul lui Russell: Fie   o mulțime și se consideră propoziția    și mulțimea   Atunci  

Demonstrație. Se presupune că   Dacă   este adevărată, adică   din definiția lui   rezultă   în care caz am avea   Dacă   este falsă, adică   din definiția lui   rezultă că   deci   Prin urmare, din   rezultă:

 

ceea ce este absurd. Deci ipoteza   este falsă, de unde rezultă că negația sa, adică   este adevărată.

Observație. Această teoremă demonstrează faptul că mulțimea tuturor mulțimilor nu este mulțime, deoarece oricare ar fi mulțimea   există obiecte pe care nu le conține, de exemplu mulțimea   definită mai sus.

Cardinalul unei mulțimi

modificare

Mulțimile   se numesc cardinal echivalente (sau echipotente) și se notează   dacă există o funcție bijectivă   Fiecărei mulțimi   îi atașăm simbolul   care se citește cardinalul lui   și care, prin definiție, posedă proprietatea:

 

Relația binară:

 

este o relație de ordine.

O mulțime se numește   dacă verifică una din condițiile echivalente:

(i)    
(ii)    

O mulțime care nu este finită se numește infinită. Numerele cardinale ale mulțimilor infinite se numesc transfinite. Dacă   atunci  

Fie   Operațiile de adunare, înmulțire și ridicare la putere a numerelor cardinale se definesc astfel:

(i)    
(ii)    
(iii)    

unde prin   s-a notat mulțimea funcțiilor definite pe   cu valori în  

Operațiile de adunare și înmulțire ale numerelor cardinale sunt comutative, asociative și distributive una în raport cu cealaltă, iar exponențierea are următoarele proprietăți:

 

O mulțime   se numește:

(i) numărabilă (notăm     dacă este echipotentă cu mulțimea  
(ii) cel mult numărabilă (notăm     dacă aceasta este finită sau numărabilă;
(iii) de puterea continuului (notăm  ) dacă este echivalentă cu  

Dacă   este infinită, atunci   adică   este primul număr cardinal transfinit.

Prezentare axiomatică

modificare

Teoria mulţimilor poate fi introdusă mult mai riguros, multe din definiţiile anterioare fiind considerate axiome:

 
Dacă   sunt două mulțimi, iar orice element dintr-o mulțime este și în cealaltă, atunci  

 

(i) Există mulțimi vide, generic notate  
(ii) Dacă   este un obiect arbitrar, atunci există mulțimea   care îl conține pe   ca unic element;
(iii) Dacă   sunt obiecte diferite, atunci există o mulțime   care conține pe   și   ca elemente.

 
Orice mulțime nevidă   conține cel puțin un element   astfel încât   și   nu au nimic în comun. Dacă   este o proprietate (sau un ansamblu de proprietăți) pentru elementele   ale lui   atunci există o mulțime   care conține toate elementele din   cu proprietatea   și nu conține alte elemente.

 
Pentru orice mulțime   există o mulțime   care conține exact submulțimile lui  

 
Pentru orice mulțime   de mulțimi, există o mulțime   care conține numai elementel3 mulțimilor din  

 
Pentru orice mulțime   de mulțimi nevide, mutual disjuncte, există o mulțime care conține exact câte un element din fiecare mulțime din  

 
Există o mulțime   care satisface condițiile următoare:

(i)   este un element al lui  
(ii) Dacă   este din   atunci și   este din  

Se notează:

  • mulţimile:  
  • mulţimea universală:  
  • complementara unei mulţimi:   sau  
  • relaţia de incluziune (nestrictă):  
  • mulţimea vidă:  
  • reuniunea a două mulţimi:  
  • intersecţia a două mulţimi:  
  • diferenţa a două mulţimi:  

Există relaţiile:

  •  
  •  
  • reuniune:  
  • intersecţie:  
  • comutativitate:  
  • asociativitate:  
  • idempotenţă:  
  • dominare:  
  • identitate:  
  • complementara unei mulţimi:  
  • legile lui De Morgan:  
  • diferenţa a două mulţimi:  
  • proprietăţi ale diferenţei a două mulţimi:   dacă  
  • produs cartezian: