Analiză matematică/Matrice

Fie $M=\{1,2,\cdots ,m\},\;N=\{1,2,\cdots ,n\}.$ Se numește matrice de tip $(m,n)$ funcția $A:M\times N\to \mathbb {C}$ definită prin:

$A{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}},$   unde $a_{ij}\in \mathbb {C} ,\;i,j={\overline {1,n}}.$

Se notează prescurtat: $A={\big (}a_{ij}{\big )}_{i,j\in M\times N}.$

Mulțimea tuturor matricelor de tip $(m,n)$ se notează ${\mathcal {M}}_{mn}(\mathbb {C} ),$ unde $m$ reprezintă numărul de linii și $n$ numărul de coloane. Dacă $m=n,$ matricea în care numărul de linii este egal cu numărul de coloane se numește matrice pătratică de ordin $n.$

Două matrici $A,B\in {\mathcal {M}}_{mn}(\mathbb {C} )$ (deci de același tip!) sunt egale dacă $a_{ij}=b_{ij},\;\forall (i,j)\in M\times N.$

Operații cu matrice

Adunarea matricelor

Dându-se matricele $A,B\in {\mathcal {M}}_{mn}$ cu $A=(a_{ij})_{(i,j)\in M\times N}$ și $B=(b_{ij})_{(i,j)\in M\times N}$ atunci matricea $C=(c_{ij})_{(i,j)\in M\times N}$ este suma primelor două dacă:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\;\forall (i,j)\in M\times N.$

Adunarea matricelor posedă următoarele proprietăți:

(i) asociativitate: $(A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in {\mathcal {M}}_{mn};$

(ii) comutativitate: $A+B=B+A,\;\forall A,B\in {\mathcal {M}}_{mn};$

(iii) existență element neutru $O\in {\mathcal {M}}_{mn}$ cu proprietatea: $A+O=O+A,\;\forall A\in {\mathcal {M}}_{mn}.$