Analiză matematică/Limita unei funcții

Conceptul de limită a unei funcții este o noțiune de bază în cadrul calculului diferențial și integral.

Când $x$ se apropie de valoarea limită $c,$ atunci şi $f(x)$ se situează în vecinătatea lui $L.$

Definiție

Definiție. Fie funcția $f:D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ iar $x_{0}$ un punct de acumulare pentru mulțimea $D.$ Elementul $l\in \mathbb {R}$ este limita funcției f în punctul $x_{0}$ și se notează $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$ dacă:

$\forall \varepsilon >0,\;\exists \delta (\varepsilon )>0$ astfel încât pentru orice $x\in D$ cu proprietatea $|x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )$ să se verifice inegalitatea $|f(x-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Definiție. Se spune că funcția $f:D\to \mathbb {R}$ are limita $l$ (finită sau infinită) în punctul $x_{0}$ dacă pentru orice șir $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergent către $x_{0}\;(x_{n}\in D,x_{n}\neq x_{0})$ șirul valorilor funcției $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ este convergent către $l.$

Se poate demonstra că cele două definiții sunt echivalente.

Exemple

Graficul lui $f(x)={\frac {1}{x}},\;x\neq 0.$

1) Valorile funcției $f:\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},\;f(x)={\frac {1}{x}}$ tind către zero când argumentul tinde către $+\infty$   sau   $-\infty .$

2) Considerăm funcția $f:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\;f(x)={\frac {\sin x}{x}}.$ Deși funcția nu este definită în $x=0,$ se poate observa că atunci când $x\to 0,$ valorile funcției se apropie de 1:

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Se va demonstra ulterior că: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$