Fie o mulțime nevidă A {\displaystyle A} și [ a , b ] ⊂ R {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} } un interval compact.
Fie f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } o funcție de două variabile reale astfel încât pentru orice y ∈ A {\displaystyle y\in A} aplicația x ↦ f ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x\mapsto f(x,y)\in \mathbb {R} } este integrabilă Riemann .
Funcția definită prin:
F : A → R , F ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle F:A\to \mathbb {R} ,\;F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx} se numește integrală cu parametru.
Continuitatea integralei cu parametru
modificare
Dacă f : [ a , b ] × A ↦ R {\displaystyle f:[a,b]\times A\mapsto \mathbb {R} } este continuă, atunci integrala cu parametru F ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx} este funcție continuă .
Formula lui Leibniz de derivare
modificare
Fie f : [ a , b ] × ( c , d ) ↦ R {\displaystyle f:[a,b]\times (c,d)\mapsto \mathbb {R} } o funcție continuă astfel încât derivata parțială ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} există și este continuă pe [ a , b ] × ( c , d ) . {\displaystyle [a,b]\times (c,d).}
Atunci integrala cu parametru F ( y ) = ∫ a b f ( x , y ) d x {\displaystyle F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx} este derivabilă și
F ′ ( y ) = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x , ∀ y ∈ ( c , d ) . {\displaystyle F'(y)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx,\;\forall y\in (c,d).}