Analiză matematică/Funcția exponențială și logaritmică

Funcţia putere modificare

Pentru orice $a\in \mathbb {R}$ se defineşte $a^{0}:=1,$ dacă $a\neq 0;\;a^{1}=a;\;a^{n+1}=a\cdot a^{n}\;(\forall )n\in \mathbb {N} .$

Evident, $0^{n}=0$ şi $1^{n}=1\;(\forall )n\in \mathbb {N} .$

1. Propoziţie. (Proprietăţile lui $a^{n}$ )

1^{o}

a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m},\;a\in \mathbb {R} ,\;(\forall )m,n\in \mathbb {N} ;

2^{o}

(a^{n})^{m}=a^{nm},\;a\in \mathbb {R} ,\;(\forall )m,n\in \mathbb {N} ;

3^{o}

{\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n},\;a\in \mathbb {R} ^{*},\;(\forall )m,n\in \mathbb {N} ,\;m\geq n;

4^{o}

(ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n},\;a,b\in \mathbb {R} ,\;(\forall )n\in \mathbb {N} ;

5^{o}

(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}\cdot b^{n},\;a\in \mathbb {R} ^{*},\;(\forall )n\in \mathbb {N} ;

6^{o}

a^{n}>0,\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\;(\forall )n\in \mathbb {N} ;

7^{o}

(\forall )a,b\in \mathbb {R} _{+}^{*}

avem:

a<b\;\Rightarrow \;a^{n}<b^{n}\;,\;(\forall )n\in \mathbb {N} ;