Analiză matematică/Determinanți

Permutare

Fie mulțimea $A=\{1,2,\cdots ,n\}.$ Vom nota prin ${\mathcal {P}}_{n}$ mulțimea tuturor grupurilor care se pot forma cu cele $n$ elemente, două grupuri oarecare diferind între ele prin ordinea elementelor. Un element $P\in {\mathcal {P}}_{n}$ se numește permutare și se notează:

$P={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\i_{1}&i_{2}&\cdots &i_{n}\end{pmatrix}}.$

Două elemente ale unei permutări formează o inversiune dacă sunt așezate în ordinea inversă aceleia din permutarea principală  $U={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}.$ Fiind dată permutarea $P\in {\mathcal {P}}_{n}$ definim signatura acesteia prin:

$\varepsilon (P)=(-1)^{\sigma (P)},$

unde $\sigma (P)$ reprezintă numărul tuturor inversiunilor lui $P.$

Determinant

Se numește determinant de ordinul $n$ numărul notat prin: $D=\det(a_{ij}),\;i,j=1,2,\cdots n$ și definit prin:

$D=\sum _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\varepsilon (P)a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\cdots a_{ni_{n}},\quad P={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}.$

Prin transpusul determinantului $D$ se înțelege determinantul obținut din $D$ prin schimbarea liniilor și coloanelor între ele. Prin minorul complementar al elementului $a_{ij}$ se înțelege determinantul de ordinul $n-1,$ notat $D_{ji},$ obținut din $D$ prin suprimarea liniei $i$ și a coloanei $j.$ Complementul algebric al lui $a_{ij}$ este numărul $\alpha _{ji}=(-1)^{i+j}D_{ji}.$ Avem:

$\sum _{k=1}^{n}a_{jk}\alpha _{kj}=D\delta _{ji},\quad \sum _{k=1}^{n}a_{ki}\alpha _{jk}=D\delta _{ij},\quad \delta _{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j.\end{cases}}$

Pentru $i=j$ se obține:

$\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\alpha _{ki}=D,\quad \sum _{k=1}^{n}a_{ki}\alpha _{ik}=D,\quad i=1,2,\cdots ,n,$

care sunt formule pentru dezvoltare a determinantului după elementele liniei (respectiv coloanei) $i.$

Fie $r<n.$ Se numește minor de ordin $r$ în $D$ un determinant $M$ format cu $r$ linii și $r$ coloane din $D.$ Numim minor complementar minorului $M$ de ordin $r,$ minorul $N$ obținut din $D$ prin suprimarea celor $r$ linii și $r$ coloane ale lui $M.$

Complementul algebric al minorului $M$ este numărul:

$M'=(-1)^{s(M)},$

$s(M)$ fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină $M.$

Teorema lui Laplace

${\text{Teoremă.}}$ Determinantul $D=\det(a_{ij})$ este egal cu suma produselor minorilor de pe $r$ linii fixate prin complemenții lor algebrici.