Analiză matematică/Definiția integralei curbilinii

Integrala curbilinie de speţa întâi

modificare

Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare. Mai precis, dat fiind intervalul de integrare  , s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar. Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.

Definiţie. Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.

Fie

 

o curbă netedă în spaţiu şi   astfel încât   Fie de asemenea:

  cu  

o diviziune a intervalului   care determină pe   punctele:

 

Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:

 

Definiţie. Curba   este rectificabilă dacă mulţimea   este o diviziune a lui   este majorată. Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei   şi se notează  

Teoremă. Dacă

 

este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi: