Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare.
Mai precis, dat fiind intervalul de integrare , s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar.
Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.
Definiţie.
Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.
Fie
o curbă netedă în spaţiu şi astfel încât
Fie de asemenea:
cu
o diviziune a intervalului care determină pe punctele:
Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:
Definiţie.
Curba este rectificabilă dacă mulţimea este o diviziune a lui este majorată.
Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei şi se notează
Teoremă.
Dacă
este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi: