În cele ce urmează, se vor considera șirurile de numere reale, cele multidimensionale urmând a fi studiate în capitolele care urmează.
Un șir de numere reale este o aplicație
x
:
N
→
R
{\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }
x
(
n
)
=
x
n
,
∀
n
∈
N
.
{\displaystyle x(n)=x_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} .}
Un șir
x
n
{\displaystyle x_{n}}
monoton dacă satisface una din proprietățile:
x
n
≤
x
n
+
1
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}\leq x_{n+1},\;\forall n\in \mathbb {N} }
x
n
≥
x
n
+
1
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle x_{n}\geq x_{n+1},\;\forall n\in \mathbb {N} }
Un șir
x
n
{\displaystyle x_{n}}
mărginit dacă există un
M
∈
R
+
∗
{\displaystyle M\in \mathbb {R} _{+}^{*}}
|
x
n
|
≤
M
,
∀
n
∈
N
.
{\displaystyle |x_{n}|\leq M,\;\forall n\in \mathbb {N} .}
Un șir real se numește convergent dacă există un
l
∈
R
,
{\displaystyle l\in \mathbb {R} ,}
∀
ε
>
0
,
∃
n
(
ε
)
∈
N
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists n(\varepsilon )\in \mathbb {N} \;}
|
x
n
−
l
|
<
ε
,
∀
n
≥
n
(
ε
)
{\displaystyle |x_{n}-l|<\varepsilon ,\;\forall n\geq n(\varepsilon )}
În acest caz, se notează:
lim
n
→
∞
x
n
=
l
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=l.}
Definiție .
Un șir de numere reale
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
șir fundamental sau șir Cauchy
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
n
0
=
n
0
(
ε
)
∈
N
{\displaystyle n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }
m
,
n
∈
N
,
m
≥
n
0
,
n
≥
n
0
,
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,m\geq n_{0},n\geq n_{0},}
|
x
m
−
x
n
|
<
ε
.
{\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon .}
Observație.
În definiția convergenței unui șir apare în mod explicit limita șirului, pe când în definiția unui șir fundamental intervin numai termeni ai șirului, deci aceasta din urmă este o definiție intrinsecă, motiv pentru care teorema următoare este extrem de importantă:
Teoremă. (Criteriul general de convergență al lui
{\displaystyle {\text{Teoremă. (Criteriul general de convergență al lui }}}
Cauchy)
Un șir de numere reale este convergent dacă și numai dacă este un șir fundamental.
Observație .
Criteriul Cauchy nu este valabil în mulțimea
Q
.
{\displaystyle \mathbb {Q} .}
(
x
n
)
n
∈
N
,
x
n
=
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} },\;x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
spațiu metric complet .
Criteriul raportului Dacă șirul
(
a
n
)
n
{\displaystyle (a_{n})_{n}}
lim
n
→
∞
a
n
n
=
lim
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},}
dacă ultima limită există.
Criteriul majorării Dacă
|
a
n
−
a
|
≤
b
{\displaystyle |a_{n}-a|\leq b}
lim
n
→
∞
b
n
=
0
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0,}
lim
n
→
∞
a
n
=
a
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a.}
Criteriul radicalului Dacă șirul
(
a
n
)
n
{\displaystyle (a_{n})_{n}}
lim
n
→
∞
a
1
⋅
a
2
⋅
⋯
⋅
a
n
n
=
lim
n
→
∞
a
n
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}
Teoremă.
{\displaystyle {\text{Teoremă.}}}
e
n
=
(
1
+
1
n
)
n
,
y
n
=
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\quad y_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}
sunt convergente și au aceeași limită.
Demonstrație.
(i) Se va demonstra mai întâi că șirul
(
e
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (\mathbf {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
e
n
+
1
e
n
=
(
n
+
2
)
n
+
1
(
n
+
1
)
n
+
1
⋅
n
n
(
n
+
1
)
n
=
(
n
+
2
)
n
+
1
(
n
+
1
)
n
+
1
⋅
(
1
−
1
n
+
1
)
n
.
{\displaystyle {\frac {\mathbf {e} _{n+1}}{\mathbf {e} _{n}}}={\frac {(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}={\frac {(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}.}
Dar, conform inegalității lui Bernoulli ,
(
1
−
1
n
+
1
)
n
>
1
−
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}>1-{\frac {n}{(n+1)^{2}}}.}
e
n
+
1
e
n
>
(
n
+
1
)
3
+
1
(
n
+
1
)
3
>
1
{\displaystyle {\frac {\mathbf {e} _{n+1}}{\mathbf {e} _{n}}}>{\frac {(n+1)^{3}+1}{(n+1)^{3}}}>1}
și aceasta pentru orice
n
∈
N
∗
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}.}
De aici rezultă că
(
e
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (\mathbf {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
(ii) Acum se va demonstra că
(
y
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
y
n
y
n
+
1
=
n
+
1
n
+
2
⋅
[
1
+
1
n
(
n
+
2
)
]
n
+
1
>
n
+
1
n
+
2
⋅
n
2
+
3
n
+
1
n
(
n
+
2
)
=
{\displaystyle {\frac {y_{n}}{y_{n+1}}}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot \left[1+{\frac {1}{n(n+2)}}\right]^{n+1}>{\frac {n+1}{n+2}}\cdot {\frac {n^{2}+3n+1}{n(n+2)}}=}
=
n
(
n
+
2
)
2
+
1
n
(
n
+
2
)
2
>
1
,
∀
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle ={\frac {n(n+2)^{2}+1}{n(n+2)^{2}}}>1,\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*},}
unde din nou s-a utilizat inegalitatea lui Bernoulli .
(iii) Deoarece
e
n
<
y
n
,
∀
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{n}<y_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*},}
e
1
<
e
2
<
⋯
<
e
n
<
y
n
<
⋯
<
y
2
<
y
1
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}<\mathbf {e} _{2}<\cdots <\mathbf {e} _{n}<y_{n}<\cdots <y_{2}<y_{1}.}
Deci cele două șiruri sunt monotone și mărginite și, conform teoremei lui Weierstrass , sunt convergente.
În continuare, din inegalitățile:
0
<
y
n
−
e
n
=
(
1
+
1
n
)
n
+
1
−
(
1
+
1
n
)
n
=
1
n
⋅
(
1
+
1
n
)
n
=
{\displaystyle 0<y_{n}-\mathbf {e} _{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}-\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=}
=
1
n
e
n
≤
y
n
n
<
y
1
n
.
{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\mathbf {e} _{n}\leq {\frac {y_{n}}{n}}<{\frac {y_{1}}{n}}.}
Dar
lim
n
→
∞
y
1
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{1}}{n}}=0}
lim
n
→
∞
e
n
=
lim
n
→
∞
y
n
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbf {e} _{n}=\lim _{n\to \infty }y_{n}.}
Această limită este notată cu
e
,
{\displaystyle \mathbf {e} ,}
Leonhard Euler
e
≈
2
,
718281828459
⋯
.
{\displaystyle \mathbf {e} \approx 2,718281828459\cdots .}
Teoremă.
{\displaystyle {\text{Teoremă.}}}
(
a
n
)
n
∈
N
∗
,
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}},}
a
n
=
1
+
1
1
!
+
1
2
!
+
⋯
+
1
n
!
,
{\displaystyle a_{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}},}
este convergent și are limita
e
.
{\displaystyle \mathbf {e} .}
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc750123df73e1d1a6e4eff1e0fd9b5d50b2c1af)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4770b6ebb90ba2e0922ae0f35e9a4299be736a00)
![{\displaystyle {\frac {y_{n}}{y_{n+1}}}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot \left[1+{\frac {1}{n(n+2)}}\right]^{n+1}>{\frac {n+1}{n+2}}\cdot {\frac {n^{2}+3n+1}{n(n+2)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adad4c79f10d6d470412830a8081191db5f55170)
