Analiză matematică/Șiruri de funcții

Definiție. Fie $A\subseteq \mathbb {R}$ o mulțime oarecare și fie ${\mathcal {F}}$ mulțimea tuturor funcțiilor reale definite pe $A.$ O aplicație $f:\mathbb {N} \to {\mathcal {F}}$ se numește șir de funcții reale.

Dacă se notează cu $f_{n}$ funcția atașată lui $n\in \mathbb {N} ,$ deci $f_{n}=F(n),$ atunci notăm șirul $F$ prin $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }.$ Un element $a\in A$ se numește punct de convergență al șirului $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ dacă șirul numeric $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ este convergent în $\mathbb {R} .$ Mulțimea $A_{c}$ a tuturor punctelor de convergență se numește mulțimea de convergență a șirului dat.

Șirul de funcții $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge punctual pe mulțimea $A_{c}$ către funcția $f:A_{c}\to \mathbb {R}$ dacă pentru fiecare $x\in A_{c}$ șirul numeric $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ converge către $f(x).$ Funcția $f$ se numește limita punctuală a șirului $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }.$