Rapoarte și proporții

Raport

Prin raportul numerelor raționale pozitive a și b, cu b≠0, se înțelege numărul rațional a:b, notat ${\tfrac {a}{b}}$. Scrierea ${\tfrac {a}{b}}$ este raportul, iar a și b sunt termenii raportului.

Valoarea unui raport ${\tfrac {a}{b}}$ este numărul c care se obține din relația c=a:b.

Exemplu: Într-o clasă sunt 12 fete și 16 băieți. Spunem că raportul dintre numărul fetelor și cel al băieților este egal cu ${\tfrac {12}{16}}$. Valoarea raportului 12:16=0,75=3/4, adică la 3 fete corespund 4 băieți.

1. La scrierea raportului a două mărimi de aceeași natură, acestea trebuie exprimate cu aceeași unitate de măsură. De exemplu, dacă lățimea unui dreptunghi este egală cu 120 cm,iar lungimea este egală cu 3,6 m, pentru a afla raportul dintre lățime și lungime, întâi transformăm în centimetri lungimea L = 3,6m = 360 cm și apoi avem ${\tfrac {l}{L}}$ = ${\tfrac {120}{360}}$cm=${\tfrac {1}{3}}$, adică lungimea dreptunghiului este mai mare de 3 ori decât lățimea acestuia.

2. Se pot forma rapoarte și cu cantități de tipuri diferite. De exemplu, dacă unui om îi trebuie 3 ore pentru a parcurge 12 km, atunci se formează raportul ${\tfrac {12}{3}}$${\tfrac {km}{h}}$ = 4km/h, este viteza pe oră cu care sunt parcurși cei 12 km, rezultând de aci concluzia că viteza este valoarea raportului dintre spațiu și timp (spațiu/timp).

Exemple de rapoarte utilizate în practică

1.Scara unei hărți este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța pe teren.

2.Concentrația unei soluții este raportul dintre masa substanței care se dizolva și masa soluției.

3.Titlul unui aliaj este raportul dintre masa metalului prețios si masa aliajului.

Exemple

a. Pe o hartă, unui segment ce are lungimea de 1 cm îi corespunde o distanță în teren egala cu 2 km. Deoarece 2km=200 000 cm , scara hărții este 1:200000.

b. În 190g de apă se dizolvă 10g sare. Concentrația soluției este egală cu : ${\tfrac {10}{190+10}}={\tfrac {10}{200}}={\tfrac {5}{100}}$=5%

c. Un aliaj conține 240 g aur și 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu : ${\tfrac {240}{240+960}}={\tfrac {240}{1200}}={\tfrac {1}{5}}={\tfrac {200}{1000}}$=0,2

Raportul Procentual

Este un raport de forma ${\tfrac {p}{100}}$ care se notează p%. Daca p% din x este egal cu y, scriem ${\tfrac {p}{100}}$∙x=y. În această relație p reprezintă procentul exprimat de raportul procentual, ceea ce scrie după cuvântul din, adică x, reprezintă întregul, iar y reprezintă partea corespunzătoare din întreg.
Avem 3 tipuri de aplicații:
a. Aflarea procentului exprimat de raportul procentual (se cere p =(y:x)·100): ${\tfrac {y}{x}}$·100 = p
b. Determinarea valorii raportului procentual p% dintr-un număr dat x (se cere y) : p% din x= ${\tfrac {p}{100}}$∙x = y

c. Aflarea unui număr când se știe p și valoarea p% din el (se cere x):

valoarea p% din x=y<=>${\tfrac {p}{100}}$∙x => ${\tfrac {100}{p}}$·y = x

Exemple
a. O gospodina a cheltuit 90 lei din cei 150 de lei pe care îi avea. Cât la sută (p) din sumă a cheltuit ea?
Rezolvare: Avem p=${\tfrac {90}{150}}$∙100=${\tfrac {3}{5}}$∙100=60=≫p=60%.

b. O gospodină avea la ea 150 lei și a cheltuit la magazin 60% din sumă. Ce sumă a cheltuit ea?
Rezolvare. Știm valoarea raportului procentual și întregul : 60% din 150=${\tfrac {60}{100}}$∙150=0,6∙150=90 lei

c. O gospodină a cheltuit 60% din suma de bani pe care o avea, adică 90 lei. Ce sumă avea gospodina la ea?
Rezolvare. Fie s suma pe care o avea gospodina. Atunci : 60% din suma s =90 <=> ${\tfrac {60}{100}}$∙s=90<=>s=90∶ ${\tfrac {3}{5}}$<=>s=90∙${\tfrac {5}{3}}$=150 lei

Creșteri și scăderi cu P%

Dacă un număr x crește, respectiv scade cu p%, atunci :

Când crește devine: x+${\tfrac {p}{100}}$ x=(1+${\tfrac {p}{100}}$)x=(${\tfrac {100}{100}}$+${\tfrac {p}{100}}$)x=${\tfrac {100+p}{100}}$x=(100+p)%x .

Când scade devine : x-${\tfrac {p}{100}}$ x=(1-${\tfrac {p}{100}}$)x=(${\tfrac {100}{100}}$-${\tfrac {p}{100}}$)x=${\tfrac {100-p}{100}}$ x=(100-p)%x.

Proporții

Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.

Dacă rapoartele ${\tfrac {a}{b}}$ și ${\tfrac {c}{d}}$ au aceeași valoare, ele formează proporția ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ , iar numerele a,b,c,d se numesc termenii proporției.

Termenii a și d se numesc extremi, iar termenii b și c se numesc mezi.

Proprietatea fudamentală a proporțiilor
Într-o proporție produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ <=> ad=bc,unde b≠0 și d≠0
Reciproc, dacă numerele a,b,c,d verifică relația ad=bc , atunci ele pot fi termenii unei proporții.

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție
Dacă într-o proporție un singur teremen este necunoscut, din proprietatea fundamentală a proporției , acesta se poate determina astfel :
un extrem = ${\tfrac {produsulmezilor}{celalaltextrem}}$ sau un mez = ${\tfrac {produsulextremilor}{celalaltmez}}$

Proporții Derivate

1.Proporții derivate cu aceeași termeni :

a. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {d}{b}}$ = ${\tfrac {c}{a}}$ (schimbarea extremilor între ei)

b. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{c}}$ = ${\tfrac {b}{d}}$ (schimbarea mezilor între ei)

c. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {b}{a}}$ = ${\tfrac {d}{c}}$ inversarea fiecărui raport

2.Proporții derivate cu alți termeni :

a1. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {a+c}{b+d}}$; a2. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {a-c}{b-d}}$, în cazul b≠d

b1. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{a+b}}$ = ${\tfrac {c}{c+d}}$; b2. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{a-b}}$ = ${\tfrac {c}{c-d}}$,î𝑛 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑎≠𝑏

c1. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a+b}{b}}$ = ${\tfrac {c+d}{d}}$; c2. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a-b}{b}}$ = ${\tfrac {c-d}{d}}$

d1. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {nc}{nd}}$; d2. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {a}{mb}}$ = ${\tfrac {c}{md}}$, unde m≠0 și n≠0

e. ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ => ${\tfrac {ka}{ma+mb}}$ = ${\tfrac {kc}{mc+nd}}$, unde k,m,n ϵ Q₊ astfel încât ma+nb≠0

Exemple

a1. ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {6}{9}}$ => ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {2+6}{3+9}}$ => ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {8}{12}}$; a2. ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {6}{9}}$ => ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {6-2}{9-3}}$ => ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {4}{6}}$

b1. ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {6}{9}}$ => ${\tfrac {2}{2+3}}$ = ${\tfrac {6}{6+9}}$ => ${\tfrac {2}{5}}$ = ${\tfrac {6}{15}}$; b2. ${\tfrac {2}{3}}$ = ${\tfrac {6}{9}}$ => ${\tfrac {2}{3-2}}$ = ${\tfrac {6}{9-6}}$ => ${\tfrac {2}{1}}$ = ${\tfrac {6}{3}}$

c1. ${\tfrac {5}{4}}$ = ${\tfrac {5}{12}}$ => ${\tfrac {5+4}{4}}$ = ${\tfrac {15+12}{12}}$ => ${\tfrac {9}{4}}$ = ${\tfrac {27}{12}}$; c2. ${\tfrac {5}{4}}$ = ${\tfrac {5}{12}}$ => ${\tfrac {5-4}{4}}$ = ${\tfrac {15-12}{12}}$ => ${\tfrac {1}{4}}$ = ${\tfrac {3}{12}}$

d1. ${\tfrac {2}{7}}$ = ${\tfrac {6}{21}}$ => ${\tfrac {2}{7}}$ = ${\tfrac {5\cdot 6}{5\cdot 12}}$ => ${\tfrac {2}{7}}$ = ${\tfrac {30}{105}}$; d2. ${\tfrac {2}{7}}$ = ${\tfrac {6}{21}}$ => ${\tfrac {2}{4\cdot 7}}$ = ${\tfrac {6}{4\cdot 21}}$ => ${\tfrac {2}{28}}$ = ${\tfrac {6}{84}}$

e. ${\tfrac {5}{3}}$ = ${\tfrac {10}{6}}$ => ${\tfrac {2\cdot 5}{4\cdot 3+7\cdot 5}}$ = ${\tfrac {2\cdot 10}{4\cdot 6+7\cdot 10}}$ => ${\tfrac {10}{47}}$ = ${\tfrac {20}{94}}$

Șir de rapoarte egale

Mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale :

${\frac {a_{1}}{b_{1}}}$ = ${\frac {a_{2}}{b_{2}}}$ = ... = ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ .

Proprietatea 1. ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}$ = ${\frac {a_{2}}{b_{2}}}$ = ... = ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ = ${\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n}}}$ , unde b₁ + b₂ + ... + b_n ≠ 0 .

Exemplu: ${\tfrac {3}{7}}$ = ${\tfrac {6}{14}}$ = ${\tfrac {30}{7}}$ = ${\tfrac {3+6+30}{7+14+70}}$ = ${\tfrac {39}{91}}$.

Proprietatea 2. ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}$ = ${\frac {a_{2}}{b_{2}}}$ = ... = ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ = ${\frac {a_{1}k+a_{2}m+...+a_{n}r}{b_{1}k+b_{2}m+..+b_{n}r}}$ , unde b₁k + b₂m + ... + b_nr ≠ 0 .

Exemplu: ${\tfrac {5}{2}}$ = ${\tfrac {10}{4}}$ = ${\tfrac {5}{6}}$ = ${\tfrac {5\cdot 3+10\cdot 7+15\cdot 6}{2\cdot 3+4\cdot 7+6\cdot 6}}$ = ${\tfrac {175}{70}}$.

Bibliografie

Autor: Nichitelea Denis Andrei Manual: Mate2000 clasa VI Editura: Paralela 45