Probleme cu derivate și nu numai/Continuitatea funcțiilor

Ce înseamnă funcție continuă?

Fie funcția $f:E\to \mathbb {R}$ și $a\in E\cap E'.$ Se spune că funcția $f\!$ este continuă în punctul a, dacă există $\lim _{x\to a}f(x)$ și $\lim _{x\to a}f(x)=f(a).$

Punctul a se numește punct de continuitate pentru funcția $f\!$.

O funcție $f:E\to \mathbb {R}$ este discontinuă în punctul $a\in E,$ dacă nu este continuă în acest punct.

Punctul a se numește punct de discontinuitate al funcției $f\!$.

Un exemplu simplu:

Studiați continuitatea funcției $f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\mbox{pentru }}x\leq 3\\3x^{2},&{\mbox{pentru }}x>3\end{cases}}$ în punctul $a=3\!$

Pentru ca funcția să fie continuă în punctul a = 3 trebuie îndeplinite, conform definiției, două condiții:

• să existe $\lim _{x\to a}f(x)$.

• $\lim _{x\to a}f(x)$ să fie egală cu $f(3)\!$.

În cazul în care prima condiție nu este îndeplinită, atunci funcția nu este continuă în acel punct. Pentru a verifica această primă condiție, a existenței limitei, se calculează limitele laterale în punctul a = 3, astfel:

$l_{s}(3)=\lim _{x\nearrow 3}f(x)=\lim _{x\nearrow 3}x^{3}=27$

$l_{d}(3)=\lim _{x\searrow 3}f(x)=\lim _{x\searrow 3}3x^{2}=27$

Deci, limita există, $\lim _{x\to 3}f(x)=27.$

Acum trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = 3, astfel: $f(3)=x^{3}=27.\!$

Observăm că $\lim _{x\to 3}f(x)=27=f(3),$ deci funcția $f\!$ este continuă în punctul a = 3.

Continuitate vs discontinuitate...

Fie $x=a\in E$ punct de discontinuitate pentru $f.\!$

• Punctul se numește punct de discontinuitate de speța întâi pentru funția $f,\!$ dacă are limite laterale finite în a.
• Punctul se numește punct de discontinuitate de speța a doua pentru funția $f,\!$ dacă nu este punct de discontinuitate de speța întâi, adică dacă cel puțin una din limitele laterale $l_{s}(a),l_{d}(a)\!$ nu există sau este infinită.

Exemple de funcții continue:

Dacă funcția $f\!$ este continuă în orice punct al domeniului de definiție, atunci spunem că funcția este continuă, fără a mai indica mulțimea pe care $f\!$ are această proprietate.

Funcțiile elementare sunt funcții continue. Funcțiile elementare sunt următoarele:

• Funcția polinomială
• Funcția rațională
• Funcția radical
• Funcția putere
• Funcția exponențială
• Funcția logaritmică
• Funcțiile trigonometrice directe sin, cos, tg, ctg
• Funcțiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg