Calcul vectorial/Vectori

Noțiunea de vector reprezintă un concept fundamental în teoria calculului vectorial.

Definiție

Se consideră vectorul ca fiind un segment orientat cu originea în originea axelor de coordonate, extremitatea în punctul $P(a_{1},a_{2},a_{3})$ și de lungime egală cu modulul vectorului. Se notează ${\overrightarrow {OP}}={\vec {a}}=\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).$

Un vector este numit vector legat când originea sa este fixată în originea axelor de coordonate și vector liber (pe scurt vector) când nu există restricții privind poziția originii acestuia.

Doi vectori $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ și $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ sunt egali dacă și numai dacă $a_{1}=b_{1},\;a_{2}=b_{2}$ și $a_{3}=b_{3}.$

Reprezentarea grafică a unui punct de coordonate $x,y,z$

Un punct $P$ din spațiu poate fi reprezentat printr-un triplet de numere reale $(a_{1},a_{2},a_{3}),$ unde $a_{1},a_{2},a_{3}$ sunt coordonatele carteziene ale lui $P.$

Dacă $O$ este originea axelor de coordonate $Ox,\;Oy,\;Oz$, $a_{1},\;a_{2},\;a_{3}$ se mai numesc și componentele vectorului ${\overrightarrow {OP}}.$ Se mai notează și $a_{1}=x,\;a_{2}=y,\;a_{3}=z.$

Uneori, în locul expresiei "punctul $P$ de coordonate $a_{1},a_{2},a_{3}$" se va spune mai simplu "punctul $a_{1},a_{2},a_{3}.$" Mai mult, $a_{1}$ se mai numește și coordonata x, $a_{2}$ coordonata y, iar $a_{3}$ coordonata z.

Se va nota prin $\mathbb {R} ^{n}$ mulțimea n-uplurilor $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ cu $x_{i}\in \mathbb {R} ,\;\forall i={\overline {1,n}}.$

Adunarea vectorilor și înmulțirea acestora cu scalari

Operația de adunare poate fi extinsă de pe $\mathbb {R}$ pe $\mathbb {R} ^{2}$ și $\mathbb {R} ^{3}.$ Astfel, pe $\mathbb {R} ^{3}$ se definește suma tripletelor $(a_{1},a_{2},a_{3})$ și $(b_{1},b_{2},b_{3})$

$(a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}).$

Elementul $(0,0,0)$ este numit elementul zero (sau chiar zero) al lui $\mathbb {R} ^{3}.$ Dându-se punctul $(a_{1},a_{2},a_{3}),$ elementul $(-a_{1},-a_{2},-a_{3})$ este numit inversul sau negativul și se poate scrie:

$(a_{1},a_{2},a_{3})+(-b_{1},-b_{2},-b_{3}){\overset {def}{=}}(a_{1},a_{2},a_{3})-(b_{1},b_{2},b_{3}).$

Un vector adunat cu inversul acestuia ne dau zero:

$(a_{1},a_{2},a_{3})+(-a_{1},-a_{2},-a_{3})=(0,0,0).$

O altă operație pe $\mathbb {R} ^{3}$ este înmulțirea unui vector cu un scalar, unde prin scalar se înțelege număr real. Astfel, dându-se un scalar $\alpha \in \mathbb {R}$ și un vector $(a_{1},a_{2},a_{3})\in \mathbb {R} ^{3},$ se definește produsul scalar prin:

$\alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3}){\overset {def}{=}}(\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},\alpha \cdot a_{3}).$

Proprietăți

Adunarea și înmulțirea cu scalari a vectorilor din $\mathbb {R} ^{3}$ satisfac proprietățile:

(i)   $\;(\alpha \beta )(a_{1},a_{2},a_{3})=\alpha [\beta (a_{1},a_{2},a_{3})]$ (asociativitate)

(ii)   $\;(\alpha +\beta )(a_{1},a_{2},a_{3})=\alpha (a_{1},a_{2},a_{3})+\beta (a_{1},a_{2},a_{3})]$ (distributivitate)

(iii)   $\;\alpha [(a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})]=\alpha (a_{1},a_{2},a_{3})+\alpha (b_{1},b_{2},b_{3})]$ (distributivitate)

(iv)   $\alpha \cdot (0,0,0)=(0,0,0)$ (element nul)

(v)   $0\cdot (a_{1},a_{2},a_{3})=(0,0,0)$ (element nul)

(vi)   $1\cdot (a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},a_{2},a_{3}).$ (element unitate)